Rechner für Wellen & Schwingungen

Schwingungen und Wellen sind dieselbe zugrunde liegende Physik in unterschiedlicher Gestalt. Eine Schwingung ist alles, was sich um eine Gleichgewichtslage hin und her bewegt — eine Masse an einer Feder, ein Pendelkörper, eine Spannung an einem Kondensator, die Höhe einer Gitarrensaite, der Druck im Inneren einer Schallwelle. Eine Welle ist eine Schwingung, die sich ausbreitet: dieselbe Hin- und Herbewegung, nur findet sie nun an jedem Punkt im Raum zu leicht unterschiedlicher Zeit statt, sodass eine Momentaufnahme ein sich ausbreitendes Sinusmuster zeigt. Beide werden von einer einzigen Differentialgleichung beherrscht, dem einfachen harmonischen Oszillator (SHM) x''(t) = -ω²x(t), dessen allgemeine Lösung die Sinuskurve x(t) = A cos(ωt + φ) ist. Daraus folgen Periodendauer T = 2π/ω, Frequenz f = ω/(2π), Höchstgeschwindigkeit v_max = Aω und Höchstbeschleunigung a_max = Aω². Die sechs Felder dieser Seite decken die klassischen Fälle ab: die harmonische Schwingung selbst, das Pendel als Uhr, die Wellengleichung v = fλ für laufende Wellen, die Dopplerverschiebung bei bewegter Quelle oder bewegtem Beobachter, die LC-Resonanz als elektrisches Gegenstück zur Masse an der Feder und die Schwebungsfrequenz, wenn zwei nahe beieinanderliegende Töne interferieren.

Die harmonische Schwingung ist jede Bewegung, bei der die rücktreibende Kraft (oder das Drehmoment, die Spannung oder die Druckdifferenz) proportional zur Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist. Die Masse an einer Feder ist der Lehrbuchfall: F = -kx ergibt x'' = -(k/m)x, also ω = √(k/m). Die Position zu jeder Zeit ist x(t) = A cos(ωt + φ), die Geschwindigkeit v(t) = -Aω sin(ωt + φ), die Beschleunigung a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Mit dem Beispiel (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) gilt T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Gibt man zusätzlich eine Zeit t ein, berechnet der Rechner die augenblicklichen Werte x(t), v(t) und a(t) — drei um 90° phasenverschobene Sinuskurven. Die harmonische Schwingung tritt in Atomgittern auf (wo sie Phononen beschreibt), in Wechselstromkreisen (wo Spannung und Strom sinusförmig mit ω = 2πf schwingen) und bei jeder kleinen Schwingung um eine Gleichgewichtslage.

Ein Pendel der Länge L, das unter der Schwerkraft g bei kleinen Winkeln (θ < ca. 15°) schwingt, gehorcht der Schwingungsgleichung mit ω = √(g/L). Die Periode ist die berühmte T = 2π√(L/g), die Galilei als Erster als unabhängig von der Masse des Pendelkörpers und von der Auslenkung erkannte. Mit L = 1 m und g = 9,81 m/s² (Erde) ist T ≈ 2,006 s, das klassische „Sekundenpendel“, das dem Meter seine ursprüngliche Definition gab (Halbperiode = 1 s). Auf dem Mond ergibt dasselbe 1-m-Pendel mit g = 1,62 m/s² T ≈ 4,94 s; auf dem Mars (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Oberhalb einer Amplitude von etwa 15° weicht die Kleinwinkelnäherung ab, und ein Korrekturglied kommt hinzu; deshalb verwendet eine echte Standuhr ein langes, langsames Pendel (kleine Amplitude) statt eines kurzen, schnellen. Die Masse des Pendelkörpers hebt sich in √(g/L) heraus: schwere und leichte Körper an derselben Schnur haben identische Perioden.

Jede laufende Welle, ob Schall, Licht, Wasser oder seismisch, gehorcht derselben Grundbeziehung: v = fλ — die Wellengeschwindigkeit ist gleich Frequenz mal Wellenlänge. Drei Modi hier lösen für jede der drei Größen auf, wenn die beiden anderen gegeben sind. Das Beispiel (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) ergibt v = 343,2 m/s — genau die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20°C. Drei Referenzgeschwindigkeiten verankern die Größenordnungen: Schall in Luft ca. 343 m/s, Schall in Wasser ca. 1480 m/s, Licht im Vakuum c = 3×10⁸ m/s. Um eine Welle von einem Medium in ein anderes zu übertragen, nutzt man für die Brechung das Brechungsgesetz (auf der Optikseite behandelt); innerhalb eines homogenen Mediums wird v jedoch durch die Eigenschaften des Mediums bestimmt (Dichte und Steifigkeit beim Schall, Permittivität und Permeabilität beim Licht).

Der Dopplereffekt ist die Änderung der beobachteten Frequenz, wenn sich Quelle und Beobachter relativ zueinander bewegen. Die klassische Formel lautet f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), wobei im Zähler das obere Vorzeichen gilt, wenn sich der Beobachter auf die Quelle zubewegt (er hört eine höhere Tonhöhe), und im Nenner das untere Vorzeichen, wenn sich die Quelle auf den Beobachter zubewegt (er hört ebenfalls eine höhere Tonhöhe). Das Beispiel (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, Quelle ruhend, Beobachter bewegt sich mit 30 m/s auf die Quelle zu) ergibt f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, eine Verschiebung von +87,46 Hz oder +8,75 %. Dieselbe Quelle, die sich mit 30 m/s auf einen ruhenden Zuhörer zubewegt, ergibt dasselbe Ergebnis (die Formel ist symmetrisch). Bei hohen Geschwindigkeiten wird die relativistische Korrektur bedeutsam; bei einer Radarpistole, die ein Auto mit 30 m/s misst, weicht der Faktor γ nur um etwa 5×10⁻⁷ von 1 ab, weshalb die klassische Formel für Schall ausreicht, Licht aber die relativistische Version braucht.

Ein LC-Kreis (Induktivität L parallel zu Kapazität C) ist das elektrische Gegenstück zur Masse an der Feder: Die Ladung übernimmt die Rolle der Auslenkung, der Strom die der Geschwindigkeit, die Induktivität L die der Masse und 1/C die der Federsteifigkeit. Die Ladung schwingt mit ω = 1/√(LC), gleichwertig f = 1/(2π√(LC)). Das Beispiel (L = 100 mH, C = 10 μF) ergibt LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, also f ≈ 159,15 Hz mit der Kreisfrequenz ω ≈ 1000 rad/s und der Periodendauer T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Reale LC-Kreise haben auch Widerstand, der die Schwingung abklingen lässt — genau diese Abklingrate minimiert ein AM-Radioempfänger, um einen Sender sauber zu wählen. Eine Erregerquelle genau bei f zwingt den Kreis in Resonanz, mit Spannungs- und Stromamplituden, die weit größer sind als außerhalb der Resonanz.

Wenn zwei Töne leicht unterschiedlicher Frequenzen gemeinsam erklingen, ist der Luftdruck die Summe zweier Sinusschwingungen — was nach der Trigonometrie einer Kosinusschwingung mit der mittleren Frequenz f_p = (f₁ + f₂)/2 entspricht, moduliert durch eine langsame Hüllkurve mit f_Schwebung = |f₁ − f₂|. Das Ohr hört die mittlere Tonhöhe, die im Takt der Schwebung an- und abschwillt. Das Beispiel (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) ergibt f_Schwebung = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, Schwebungsperiode = 0,2 s — ein deutlich hörbares Pulsieren fünfmal pro Sekunde. Unterhalb von etwa 10 Hz werden die Schwebungen als einzelne Pulse wahrgenommen; oberhalb von etwa 30 Hz verschmelzen sie zu einer Rauigkeit oder einem Tremolo. Klavierstimmer nutzen dies: Sie schlagen einen Referenzton und die zu stimmende Saite an, hören auf die Schwebungen und drehen nach, bis die Schwebungen verschwinden. Sind die Saiten genau gestimmt, ist f_Schwebung = 0, und der Rechner meldet „Gleiche Frequenzen — keine Schwebung“.

• Periodendauer und Frequenz sind nicht dasselbe. T (Sekunden pro Schwingung) und f (Schwingungen pro Sekunde) sind Kehrwerte. T = 1/f. Eine Schwingung mit 0,5 Hz braucht 2 Sekunden für einen Zyklus.
• Die Pendelperiode hängt nur schwach von der Amplitude ab. Die genaue Periode bei endlicher Amplitude θ₀ ist T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Bei 15° beträgt die Korrektur 0,7 %, bei 30° etwa 1,7 % — in einführenden Aufgaben meist vernachlässigt.
• Die Dopplerverschiebung ist gleich, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt. Ob sich die Quelle auf einen ruhenden Beobachter zubewegt oder der Beobachter mit gleicher Geschwindigkeit auf eine ruhende Quelle zu, die Tonhöhenänderung ist identisch (nichtrelativistisch).
• Resonanz ist nicht dasselbe wie maximale Amplitude. Resonanz ist die Bedingung ω_Antrieb = ω_Eigen. Mit Dämpfung liegt die maximale Amplitude unter dem ungedämpften Wert; ohne Dämpfung wächst die Amplitude unbegrenzt (nur durch Nichtlinearität begrenzt).

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