Drei Produkte leisten alles, was Sie benötigen: das Skalarprodukt (ein Skalar, der die Ausrichtung misst, A·B = |A||B|cosθ), das Kreuzprodukt (ein Vektor senkrecht zu beiden Eingaben, Betrag |A||B|sinθ) und der Projektionsoperator (Komponente von A entlang einer gewählten Richtung). Sie bilden die Buchführung jeder Formel der Physik, die mehr als einen Vektor enthält.
Betrag und das 2D-Standardbeispiel
Das rechtwinklige 3-4-5-Dreieck ist das Standardbeispiel für 2D-Vektoren. Betrachten Sie A = (3, 4). Sein Betrag ist |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Seine Richtung gegen die +x-Achse ist arctan(4/3) ≈ 53,13°. Jeder 2D-Vektor lässt sich als Betrag mal Einheitsvektor in dieser Richtung schreiben: A = 5·(0,6; 0,8). Die Zerlegung nimmt einen Betrag und die Winkel θ und φ entgegen und liefert die x-, y- und z-Komponenten entweder nach der Kugelkonvention (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) oder im ebenen Modus (φ wird ignoriert, x = r cosθ, y = r sinθ). Für r = 10, θ = 36,87° im 2D-Modus ergibt sich (8, 6, 0) — das 6-8-10-Dreieck, aus dem ursprünglichen 3-4-5 skaliert. Diese ganzzahligen Dreiecke zu erkennen ist die Abkürzung, um ohne Trigonometrie zu sehen, welche Komponenten senkrecht stehen.
Skalarprodukt — skalares Maß für die Ausrichtung
Für zwei Vektoren A und B ist das Skalarprodukt A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) ein Skalar, der gleich |A||B|cosθ ist — also das Produkt der Beträge mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Das 2D-Standardbeispiel (A = (3, 4), B = (5, 2)) ergibt A·B = 15 + 8 = 23, die Beträge |A| = 5 und |B| = √29 ≈ 5,385 sowie cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, also θ ≈ 31,33°. Drei Vorzeichenfolgen tragen die gesamte Deutung: cosθ > 0 bedeutet einen spitzen Winkel und Vektoren, die im Großen und Ganzen in dieselbe Richtung zeigen; cosθ < 0 bedeutet einen stumpfen Winkel und entgegengesetzte Vektoren; cosθ = 0 bedeutet senkrecht. Das Skalarprodukt ist die Arbeit, die eine Kraft F entlang einer Verschiebung d verrichtet (W = F·d), und der Kosinus ist der Grund, weshalb schräges Drücken weniger wirksam ist als Drücken entlang der Bewegungsrichtung.
Kreuzprodukt — Vektor senkrecht zu beiden Eingaben
Das Kreuzprodukt ist eine rein dreidimensionale Operation, deren Ergebnis ein Vektor senkrecht zu beiden Eingaben ist, mit dem Betrag |A||B|sinθ und einer Richtung nach der Rechte-Hand-Regel (Zeigefinger entlang A, Mittelfinger entlang B, der Daumen zeigt A×B). In Komponenten gilt A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Das 3D-Standardbeispiel (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) ergibt A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Das Kreuzprodukt ist antisymmetrisch: B×A = −A×B, das Vertauschen der Eingaben kehrt also das Vorzeichen um. Drei Auftritte in der Physik: das Drehmoment τ = r×F (Rotationskraft), der Drehimpuls L = r×p (Bahndrehimpuls) und die magnetische Kraft F = qv×B auf eine bewegte Ladung. Der Betrag |A×B| entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen, weshalb Ergebnisse von Kreuzprodukten immer Fläche oder Rotation beschreiben. Das Drehmoment ist das Kreuzprodukt in Aktion: τ = r×F hat den Betrag |r||F|sinθ, also ergibt ein Druck durch den Drehpunkt null, und ein längerer Schraubenschlüssel gibt mehr Moment.
Winkel zwischen Vektoren
Hat man das Skalarprodukt und die Beträge, ist der Winkel ein einziger Arkuskosinus: cosθ = A·B/(|A||B|) mit θ in [0, π]. Ein im Vergleich zu den Beträgen kleines Skalarprodukt bedeutet nahezu senkrechte Vektoren; ein Skalarprodukt gleich |A||B| bedeutet, dass die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen (θ = 0); ein Skalarprodukt gleich −|A||B| bedeutet entgegengesetzte Richtung (θ = π). Die Formel ist in 2D und 3D dieselbe — nur die Dimension der Komponentensummen unterscheidet sich. Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt als Projektion von A auf B (oder B auf A) betrachten, multipliziert mit dem Betrag des anderen Vektors; der Kosinus ist also wörtlich das Projektionsverhältnis.
Einheitsvektor und Projektion
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1, der in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche zeigt: u = A / |A|. Einheitsvektoren beschreiben die „reine Richtung“; die Basisvektoren i, j, k des kartesischen Koordinatensystems sind die klassischen Beispiele, und jede Richtung im 3D-Raum lässt sich als Linearkombination von ihnen schreiben. Die Projektion von A auf B (oder die Komponente von A entlang B) ist projBA = (A·B / |B|²) · B — der Teil von A, der entlang B liegt. Die skalare Version (A·B/|B|) ist die vorzeichenbehaftete Länge dieser Projektion. Damit wird das Skalarprodukt zur Arbeitsformel: Die Verschiebungskomponente entlang der Kraft mal dem Betrag der Kraft ist die verrichtete Arbeit.
Häufige Missverständnisse
- Das Skalarprodukt ist eine Multiplikation von Vektoren. Es ist das Skalarprodukt — es liefert eine Zahl, keinen Vektor. Ebenso ist das Kreuzprodukt das Vektorprodukt. Die Bezeichnung „Multiplikation“ verbirgt, dass beide völlig verschiedene Ergebnisse liefern.
- Das Kreuzprodukt ist ein Skalar. In 2D wird die senkrechte Komponente manchmal als Skalar bezeichnet (die Determinante axby − aybx), aber in 3D ist das Kreuzprodukt tatsächlich ein Vektor. Betrag und Richtung sind beide physikalisch bedeutsam.
- Das Kreuzprodukt ist kommutativ. Es ist antikommutativ: A×B = −B×A. Die Reihenfolge zählt — das Drehmoment r×F hat den umgekehrten Drehsinn wie F×r.
- Ein Vektor hat einen festen Ort. Vektoren sind frei — man kann sie auf dem Papier verschieben, ohne sie zu verändern. Fest sind ihr Betrag und ihre Richtung; nur bestimmte Vektoren der Physik (Ortsvektoren, das elektrische Feld an einem Punkt) sind an einen Ort gebunden.
Verwandte Werkzeuge: Mechanik für Drehmoment, Arbeit und Drehimpuls im Zusammenhang, Rotationsdynamik dafür, wie das Kreuzprodukt den Drehimpuls aufbaut, und Schaltungen für die magnetische Kraft F = qv×B.
