Jede Messung ist eine Zahl mit einer ehrlichen Begleitangabe: Wie sicher können wir sein? Diese Begleitangabe hat zwei Teile — einen Zufallsfehler, den das Wiederholen der Messung mittelt, und einen systematischen Fehler, eine Verzerrung, die bleibt, egal wie oft man misst. Die ehrliche Angabe jeder Größe ist daher x ± u(x), wobei u eine genau definierte Unsicherheit ist; das Zeichen ± ist die Kurzform für „ungefähr dieser Bereich mit dieser Wahrscheinlichkeit“. Die vier Rechner dieses Bereichs decken die Arbeitswerkzeuge ab: das Zählen signifikanter Stellen (das Buchführungskürzel), das Fortpflanzen von Unsicherheiten durch Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten und Potenzen (die Rechenregeln für Fehler), die Standardabweichung (wie stark die Daten streuen) und die GUM-artige kombinierte Unsicherheit mehrerer unabhängiger Komponenten.
Zwei Arten von Fehlern, zwei gegensätzliche Verhaltensweisen: Zufallsfehler werden mit der Wurzel aus N kleiner (σ/√N), daher gewinnt das Mitteln immer; systematische Fehler werden gar nicht kleiner, deshalb ist Kalibrierung wichtiger als Wiederholung. Eine Messung kann ein winziges σ haben und trotzdem wegen einer Verzerrung falsch sein.
Signifikante Stellen — das Buchführungskürzel
Eine signifikante Stelle ist eine Ziffer, die man mit Sicherheit kennt; Nullen, die eine Zahl auf eine Schreibkonvention auffüllen, gehören nicht dazu. Fünf Regeln: (1) Alle von null verschiedenen Ziffern sind signifikant. (2) Nullen zwischen von null verschiedenen Ziffern sind signifikant. (3) Vorangestellte Nullen sind nicht signifikant (sie setzen nur das Komma). (4) Nachgestellte Nullen nach dem Komma sind signifikant. (5) Nachgestellte Nullen ohne Komma sind mehrdeutig (wissenschaftliche Schreibweise verwenden). Der Standardwert 0,0070800 hat daher 5 signifikante Stellen (7, 0, 8, 0, 0) und liest sich als (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Die Angabe 0,0070800 impliziert dieselbe Genauigkeit wie 7,0800×10−3; die Angabe 0,00708 impliziert eine tausendfach geringere Genauigkeit. Die Abkürzung funktioniert für Lehrbuchberichte; für eine echte Messung ist die Unsicherheit u die ehrliche Angabe, und die signifikanten Stellen sind ein praktisches Mittel, sie auszudrücken, ohne jedes Mal das ± zu schreiben.
Fehlerfortpflanzung — die Rechenregeln für Fehler
Für z = f(x, y) lautet die Regel zur Kombination unabhängiger Unsicherheiten σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Für die vier Grundrechenarten vereinfacht sich dies zu: Addition/Subtraktion addiert die absoluten Fehler quadratisch, σz = √(σx² + σy²); Multiplikation/Division addiert die relativen Fehler quadratisch, σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); Potenz xn skaliert den relativen Fehler mit |n|: σz/z = |n|σx/x. Das Beispiel (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, Addition) ergibt z = 15 und σz ≈ 0,36, also 15,00 ± 0,36 (etwa 2,4 % relativ). Wechselt man bei denselben Eingaben zur Multiplikation, ergibt sich z = 50 ± 2,5 (5 % relativ) — dieselben ±-Werte, aber eine ganz andere Fortpflanzungsregel; die relative Unsicherheit des Produkts ist gleich der quadratischen Summe der relativen Unsicherheiten. Absolute Unsicherheiten sind die richtige Währung für Summen und Differenzen; relative für Produkte und Quotienten.
Standardabweichung — Streuung der Daten
Die Standardabweichung σ ist die quadratische Mittelabweichung vom Mittelwert. Es gibt zwei Versionen, je nachdem, was die Daten darstellen: Grundgesamtheit σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) beschreibt die Streuung jedes Mitglieds einer bekannten Menge; Stichprobe s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) schätzt die Streuung der größeren Population, aus der die Stichprobe gezogen wurde. Das Beispiel (10 Werte von 12,2 bis 12,8 mit Mittelwert 12,5) ergibt Grundgesamtheit σ ≈ 0,1732, Stichprobe s ≈ 0,1826 und SEM = s/√N ≈ 0,0577. Die Unsicherheit des Mittelwerts selbst ist σ/√N (bzw. s/√N in der Stichprobenversion); deshalb verringert das Mitteln von 25 Messungen einer Größe die Unsicherheit um den Faktor 5 gegenüber einer einzelnen Messung. Die Standardabweichung speist auch Konfidenzintervalle: Bei einer Normalverteilung enthält ±1σ 68,3 %, ±2σ 95,5 %, ±3σ 99,7 %.
Erweiterte Unsicherheit — alle Quellen zusammengeführt
Hat eine Messung mehrere unabhängige Fehlerquellen (Auflösung des Instruments, Kalibrierung, Wiederholbarkeit, Temperaturdrift, Bedieneinfluss), lautet die GUM-artige kombinierte Unsicherheit uc = √(Σui²). Die Quellen werden in Typ A (statistisch, aus Daten) und Typ B (alles andere, mit Unsicherheiten aus Schätzung oder Herstellerangabe) eingeteilt; beide gehen auf dieselbe Weise in uc ein. Ein Erweiterungsfaktor k skaliert dann das Intervall auf das gewählte Vertrauensniveau: k = 1 für 68,3 %, k = 2 für 95,5 %, k = 2,58 für 99,0 %, k = 3 für 99,7 %. Das Beispiel (Quellen 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) ergibt uc ≈ 0,1797 mm und U = k·uc ≈ 0,3595 mm bei 95,5 %. Der angegebene Wert lautet dann (Messwert ± 0,36) mm bei diesem Vertrauensniveau. Der GUM (ISO/IEC-Leitfaden 98-3) ist der internationale Standard für dieses Verfahren. Typ-A-Komponenten stammen aus der Statistik wiederholter Ablesungen, Typ-B-Komponenten aus Gerätespezifikationen und Schätzungen — beide werden über dieselbe quadratische Summe kombiniert.
Häufige Missverständnisse
- Mehr signifikante Stellen bedeuten eine genauere Messung. Nur dann, wenn diese Stellen wirklich aus der Messung stammen. Eine von Hand geschriebene Länge „12,34567 m“ ist nicht auf 1 Teil in 10 Millionen genau — die signifikanten Stellen sind ein Mittel, Genauigkeit mitzuteilen, nicht sie zu erfinden. Die Angabe mit ± ist ehrlicher als das Auffüllen mit erfundenen Stellen.
- Systematische Fehler lassen sich durch Mitteln verringern. Das Gegenteil ist richtig: Zufallsfehler werden beim Mitteln mit 1/√N kleiner, aber eine systematische Verzerrung (eine falsch kalibrierte Waage, ein dejustierter Nullpunkt) bleibt, egal wie viele Messungen man macht. Verzerrungen erkennen und beseitigen, nicht mitteln. Das ist die Falle von „die Daten sind so reproduzierbar!“ bei einem fehlerhaften Versuch.
- Die Standardabweichung sagt etwas über den Fehler einer einzelnen Messung. Sie kennzeichnet die Streuung der Verteilung, nicht den Fehler eines einzelnen Versuchs. Der Standardfehler des Mittelwerts (s/√N) ist die relevante Größe, wenn man angibt, wie gut man x̄ aus einer Stichprobe vom Umfang N kennt.
- Die Unsicherheit steht immer mit ± in der letzten Stelle. Die übliche Konvention lautet: „Die Unsicherheit auf eine (manchmal zwei) signifikante Stellen runden, dann den Wert passend runden.“ Eine Messung von 12,345678 ± 0,234 ist als 12,35 ± 0,23 anzugeben, nicht als 12,345678 ± 0,234.
Verwandte Werkzeuge: Statistik für die zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Mechanik für die Versuchsaufbauten, die die Zahlen liefern, und der Rechner für die Algebra der Fortpflanzung.
