Rechner für moderne Physik

Einsteins Postulat von 1905: Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich, und die physikalischen Gesetze sind in jedem Inertialsystem gleich. Die Folge für Zeit und Länge ist der Lorentzfaktor γ = 1/√(1 − v²/c²), der im bewegten System die Zeit dehnt (Δt = γ·T₀) und die Länge verkürzt (L = L₀/γ). Das Beispiel (v = 0,8 c, T₀ = 1 s, L₀ = 10 m) ergibt γ ≈ 1,667; eine Uhr auf einem schnell fahrenden Schiff zeigt 1 s Eigenzeit, während für den ruhenden Beobachter 1,667 s vergehen, und ein 10 m langes Schiff erscheint nur 6 m lang. Bei v = 0,5 c beträgt γ nur 1,155 — kaum merklich; bei v = 0,99 c ist γ 7,09, und die relativistischen Effekte sind dramatisch. Das GPS-Netz muss die Zeitdilatation der Satellitenuhren bei Bahngeschwindigkeit (etwa 45 μs pro Tag langsamer) und die gravitative Blauverschiebung (etwa 45 μs pro Tag schneller) korrigieren; die beiden Effekte heben sich fast, aber nicht exakt auf — ohne Korrektur läge eine GPS-Positionsbestimmung nach einem Tag etwa 10 km daneben.

Licht ist Welle und Teilchen zugleich; nach dieser Symmetrie ist jedes Teilchen mit dem Impuls p auch eine Welle mit der Wellenlänge λ = h/p = h/(mv). Das Beispiel (ein Elektron mit v = 10⁶ m/s) ergibt λ ≈ 0,727 nm, an der Grenze zwischen Röntgen- und weicher Röntgenstrahlung. Das ist die Auflösungsgrenze eines Elektronenmikroskops — und der Grund, weshalb die Elektronenmikroskopie das Lichtmikroskop um Größenordnungen übertrifft. Für einen Baseball mit 40 m/s (160 km/h) beträgt λ ≈ 10⁻³⁴ m, viele Größenordnungen kleiner als ein Proton, weshalb Baseballs nicht an Zäunen gebeugt werden. Der Welle-Teilchen-Dualismus gilt universell; nur die Konstante h bewahrt alltägliche Materie davor, wie ein Quantenobjekt auszusehen.

Licht, das auf ein Metall fällt, löst Elektronen aus, aber nur, wenn die Photonenenergie die Austrittsarbeit φ des Metalls übersteigt: KE = hf − φ, wobei f die Lichtfrequenz und h die Planck-Konstante ist. Das Beispiel (eine kupferähnliche Oberfläche mit φ = 4,3 eV, λ = 200 nm ultraviolett) ergibt eine Photonenenergie von hf = 1240/200 = 6,2 eV und eine kinetische Energie des Elektrons von 1,9 eV, mit einer Elektronengeschwindigkeit von etwa 8,16×10⁵ m/s. Unterhalb der Grenzfrequenz (φ/h in Hz, oder 1240/φ in nm — 288 nm für Kupfer) treten unabhängig von der Intensität keine Elektronen aus. Der Effekt war das Experiment, das 1905 den Streit zwischen Welle und Teilchen entschied, denn die klassische Physik sagt eine von der Intensität und nicht von der Frequenz abhängige Elektronenenergie voraus.

Die Masse-Energie-Äquivalenz E = mc² verknüpft Masse und Energie über einen riesigen Proportionalitätsfaktor (c² = 8,988×10¹⁶ J/kg). Ein Kilogramm Masse enthält 8,988×10¹⁶ J — die Energie, die eine thermonukleare Waffe von 21,5 Megatonnen freisetzt; oder anders gesagt: Der tägliche Energiebedarf der gesamten Weltwirtschaft (etwa 5×10²⁰ J) würde nur etwa 5.500 kg Masse-Vernichtung erfordern. In der Praxis ist die Umwandlung nie vollständig: Kernspaltung setzt etwa 0,1 % der Masse-Energie frei, Kernfusion etwa 0,7 %, und Materie-Antimaterie-Vernichtung die vollen 100 %. Der Massendefekt (die Differenz zwischen der Summe der Nukleonenmassen und der tatsächlichen Kernmasse) ist die Bindungsenergie, die bei der Bildung dieser Kerne frei wird; deshalb stehen Tabellen der Kernbindungsenergie in jedem Kerndatenhandbuch neben den Massentabellen.

Jeder instabile Atomkern hat eine feste Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, unabhängig von seinem Alter oder seiner chemischen Umgebung. Das Ergebnis ist exponentieller Zerfall: N(t) = N₀·(1/2)^t/T½. Das Beispiel (N₀ = 1000 Atome, T½ = 10 s, t = 25 s) ergibt N ≈ 176,78 Überlebende (etwa 17,7 %) und 823,22 zerfallene (82,3 %) nach 2,5 Halbwertszeiten. Die mittlere Lebensdauer ist τ = T½/ln(2) ≈ 1,443·T½ (das durchschnittliche Atom überlebt länger als die Halbwertszeit, weil manche viel länger leben als der Median). Die Zerfallskonstante λ = ln(2)/T½ ist die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit; die Aktivität A = λ·N ist die Zahl der Zerfälle pro Sekunde, deren Einheit das Becquerel ist (1 Bq = 1 Zerfall/s). Die Radiokohlenstoffdatierung nutzt genau diese Beziehung mit T½ = 5.730 Jahre, um organisches Material bis etwa 50.000 Jahre alt zu datieren; für ältere Proben übernimmt Kalium-Argon (T½ = 1,25 Milliarden Jahre).

Das einfachste quantenmechanische Atom: Ein Elektron darf nur auf bestimmten Bahnen mit der Energie E_n = −13,6/n² eV (n = 1, 2, 3, ...) existieren. Übergänge zwischen Bahnen setzen Photonen mit der Energiedifferenz frei oder nehmen sie auf. Das Beispiel (n_i = 3 → n_f = 2, die H_α-Linie) ergibt ΔE ≈ 1,889 eV und eine Wellenlänge von ≈ 656,5 nm, die tiefrote H_α-Linie — dieselbe Wellenlänge, die Emissionsnebel auf Fotografien rosa färbt. Übergänge nach n = 1 bilden die Lyman-Serie (ultraviolett), nach n = 2 die Balmer-Serie (sichtbar), nach n = 3 die Paschen-Serie (nahes Infrarot) und so weiter. Das Bohr-Modell ist im Detail falsch (das reale Wasserstoffatom wird durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben, mit Aufenthaltswahrscheinlichkeiten statt Bahnen), aber richtig genug, um das Wasserstoffspektrum exakt vorherzusagen und als Brücke vom klassischen zum quantenmechanischen Denken zu dienen.

• Zeitdilatation ist „nur Perspektive“. Die gedehnte Zeit ist physikalisch, nicht bloß scheinbar. Ein Myon, das durch kosmische Strahlung hoch in der Atmosphäre entsteht, lebt in unserem Bezugssystem lange genug, um den Boden zu erreichen, weil sein großes γ seine Lebensdauer um diesen Faktor verlängert. Das Myon selbst sieht die Atmosphäre verkürzt, mit derselben Physik — beide Betrachtungen stimmen darin überein, was den Boden erreicht.
• E = mc² wandelt Masse in Energie um. Masse „wird“ nicht zu Energie; sie ist Energie. Die Gleichung besagt, dass Masse und Energie dieselbe Größe sind, nur in verschiedenen Einheiten gemessen. Ein Atomkern, der um Δm leichter ist als seine Bestandteile, hat Δm·c² an Bindungsenergie freigesetzt; die Energie war immer da, nur nicht als Masse.
• Licht ist „entweder eine Welle oder ein Teilchen“. Keines von beidem allein. Licht verhält sich bei der Interferenz wie eine Welle und bei Emission und Absorption wie ein Teilchen (Photon). Die beiden Beschreibungen sind komplementär, nicht widersprüchlich.
• Die relativistische Masse wächst mit der Geschwindigkeit. Der heutige Sprachgebrauch hat den Begriff aufgegeben: Nur die Ruhemasse m₀ ist „Masse“. Die Gesamtenergie wächst mit γ (E = γm₀c²), aber diese als „relativistische Masse“ zu bezeichnen, verschleiert die Geometrie des 4-Impulses und ist nicht mehr Standard.

Verwandte Werkzeuge: Schaltungen für den klassischen elektrischen Hintergrund, Thermodynamik für die statistische Mechanik und den Gleichverteilungssatz sowie die Konstantenreferenz für die Werte aller hier verwendeten Konstanten.