Astrophysikrechner

Die Astrophysik ist der Teil der Physik, der Gravitation und Bewegung als Arbeitssprache für alles verwendet, vom Mond bis zur Galaxie. Sechs Rechner in diesem Bereich beantworten die sechs wiederkehrenden Fragen, die man zu jedem Körper oder jeder Bahn stellen kann: Wie schnell muss ich etwas werfen, um das System zu verlassen? Wie schnell muss es sein, um es zu umkreisen? Wie lange dauert ein Umlauf? Wie klein müsste dieselbe Masse zusammenfallen, um ein Schwarzes Loch zu werden? Wie viel Δv gewinnt eine Rakete je Treibstoffanteil? Und wie weit ist eine Galaxie entfernt, deren Licht rotverschoben ist? Alles Übrige — Entfernungen, die über Parallaxe gegen die Erdbahn mit einer astronomischen Einheit als Basis gemessen werden (AE = 1,496×10¹¹ m), Helligkeiten als logarithmische Rangordnung der Leuchtkraft, die Rotverschiebung z ≈ v/c als Näherung für kleine Geschwindigkeiten im Hubble-Gesetz — beruht auf demselben newtonschen und relativistischen Gerüst.

Jeder Körper der Masse M und des Radius R erzeugt einen Potentialtopf der Tiefe GM/R je Masseneinheit. Um aus der Oberfläche herauszukommen, braucht man mindestens eine kinetische Energie in Höhe dieser Tiefe; daraus folgt die Fluchtgeschwindigkeit. Für die Erde eingesetzt: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — der Rechner liefert v_e ≈ 11.186 m/s (11,19 km/s, etwa Mach 33). Der Mars kommt auf ≈ 5,03 km/s, der Mond auf 2,38 km/s, Jupiter auf 60 km/s (wo Wasserstoff als Raketentreibstoff schlecht taugt, die Mathematik aber dieselbe bleibt) und die Sonne auf 618 km/s. Hinweis: Die Formel setzt keinen Luftwiderstand und keinen weiteren Antrieb voraus; die reale Zahl für jede Rakete umfasst aerodynamische Verluste, Schwerkraftverluste beim Steigen und Steuerverluste. Sie ist außerdem die Geschwindigkeit aus der Ruhe an der Oberfläche; ein Objekt, das bereits im Orbit ist, braucht das kleinere Δv, um aus seiner Höhe zu entkommen, nie den vollen Oberflächenwert. Dieselbe Skalierung bestimmt das Oberflächengewicht: Auf dem Mars (g = 3,71 m/s²) wiegt ein 70-kg-Astronaut 260 N — die Masse bleibt gleich, das Gewicht folgt der lokalen Schwerkraft.

Eine stabile Kreisbahn gleicht die Zentripetalbeschleunigung gegen die Gravitation aus: v_o = √(GM/r). Die Standardvorgabe des Rechners für die Erde bei r = 7×10⁶ m (etwa 629 km Höhe — ISS-Bereich) ergibt v_o ≈ 7.546 m/s und eine Umlaufdauer von 5.829 s (~1,62 Stunden). Die echte ISS liegt bei etwa 408 km und umkreist die Erde in etwa 92,7 Minuten; die Höhe des Rechners ist eine anschauliche Zahl, kein Flugplan. Die Beziehung liefert auch die Flucht: Multipliziert man v_o mit √2, erhält man v_e in derselben Höhe. Die Bahngeschwindigkeit ist unabhängig von der umlaufenden Masse; eine Feder und ein Schlachtschiff auf derselben Bahn bewegen sich im Vakuum gleich schnell, weshalb die Bahnmechanik Satelliten als Massepunkte behandelt.

T² = (4π²/GM) · a³ verknüpft die Umlaufdauer mit der großen Halbachse. Die Vorgabe des Rechners für Sonne und Erde (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AE per Definition) ergibt T ≈ 365,21 Tage, genau die Länge unseres Jahres. Umgekehrt gerechnet — gegeben eine Umlaufdauer in Sekunden, berechne a — so messen Astronomen die große Halbachse jedes Satelliten, dessen Umlaufzeit sie stoppen können. Dieselbe Basislinie von 1 AE ist auch die Definition des Parsec: Ein Stern, der 1 Bogensekunde Parallaxenverschiebung gegen den Hintergrund zeigt, während die Erde 2 AE überstreicht, ist genau 1 Parsec = 3,26 Lichtjahre entfernt — und 1 Parsec = 206.265 AE. Kilometer und Lichtjahre werden auf interstellaren Skalen unhandlich; Parsec und AE sind die Arbeitseinheiten.

Wird eine Masse M unter ihren Schwarzschild-Radius R_s = 2GM/c² verdichtet, kann kein Signal aus dem Inneren herauskommen: Es ist der Horizont eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs. Die Zahlen sind für gewöhnliche Massen überraschend klein: Der R_s der Erde beträgt etwa 8,87 mm — kleiner als eine Murmel; der der Sonne etwa 2,95 km. Beides zu verdichten würde Dichten erfordern, die kein bekannter Materiezustand liefert. Echte Schwarze Löcher entstehen beim Tod von Sternen; dort ist 14,76 km für einen Rest von 5 M_⊙ (die Vorgabe „kleines SL“ des Rechners) die richtige Größenordnung für Objekte wie Cygnus X-1, während ein supermassereiches Schwarzes Loch mit 4×10⁶ M_⊙ wie Sagittarius A* im galaktischen Zentrum einen R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m hat (etwa 17 % der Merkurbahn). Der Schwarzschild-Radius ist eine Koordinatenvorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie; der tatsächliche Horizont eines rotierenden (Kerr-)Schwarzen Lochs weicht ab und kann kleiner sein.

Der Impulserhalt für eine Rakete, die Abgase mit der Geschwindigkeit v_e nach hinten ausstößt und ein Massenverhältnis m₀/m_f hat, liefert Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Das geladene Beispiel des Rechners (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500.000 kg, m_f = 50.000 kg) ergibt Δv ≈ 6.907,76 m/s bei einem Massenverhältnis von 10 und einem Treibstoffanteil von 90 %. Die Gleichung ist brutal logarithmisch: Verdoppelt man den Treibstoff, steigt das Δv um v_e·ln(2), nie um das Doppelte. Für den niedrigen Erdorbit braucht man insgesamt etwa 9,4 km/s Δv; für den geostationären Transferorbit etwa 11,5 km/s; für einen Mondtransfer etwa 12,5 km/s — deshalb werden Raketen gestuft, sind die Oberstufen nur kleine Bruchteile der Startmasse, und Einstufen-Raketen in den Orbit bleiben hartnäckig schwer.

Edwin Hubbles Beobachtung von 1929, dass sich Galaxien mit einer Geschwindigkeit entfernen, die proportional zur Entfernung ist, ergibt d = v/H₀. Mit dem Wert des Rechners H₀ = 70 km/s/Mpc liegt eine Galaxie mit v = 1.000 km/s bei d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ Lichtjahre. Bei nahen Galaxien ist die Rezessionsgeschwindigkeit nur ein kleiner Bruchteil von c, daher z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; das lineare Hubble-Gesetz ist dann ein Spezialfall der kosmologischen Expansion in einem sich ausdehnenden Universum. Die Beziehung bricht bei hoher Rotverschiebung (z > 0,1), wo das vollständige kosmologische Modell übernimmt; deshalb warnt der Infokasten, dass die Formel für „relativ nahe“ Galaxien gilt. Dieselbe Einschränkung gilt für v_e oder v_o nahe der Lichtgeschwindigkeit (relativistische Korrekturen sind dann wichtig). Die kosmische Entfernungsleiter — Parallaxe, Cepheiden, Supernovae vom Typ Ia, dann der Hubble-Fluss — kalibriert H₀ selbst, und die aktuelle H₀-Spannung zwischen lokalen und aus der kosmischen Hintergrundstrahlung abgeleiteten Werten bleibt eines der offenen Probleme der Kosmologie.

• Die Fluchtgeschwindigkeit ist eine Startgeschwindigkeit vom Boden. Sie ist die Geschwindigkeit aus der Ruhe am gegebenen Radius ohne weiteren Antrieb; eine Rakete, die stundenlang mit kleinem konstantem Schub steigt, muss v_e zu keinem Zeitpunkt erreichen.
• Schwarze Löcher saugen Dinge ein wie ein Staubsauger. Der Horizontradius wird von der Zentralmasse festgelegt, nicht vom Objekt, das „angezogen“ wird. Bei r » R_s ist die Gravitation schlicht newtonsch; erst sehr nahe am Horizont wird sie unentrinnbar. Wäre die Sonne ein Schwarzes Loch derselben Masse, würde sich die Erdbahn überhaupt nicht ändern.
• Mehr Treibstoff bedeutet proportional mehr Δv. Die Tsiolkowski-Gleichung ist logarithmisch: Verdoppelt man den Treibstoff, steigt das Δv um v_e·ln(2), nicht auf das Doppelte. Das ist die wichtigste Zahl in der Raketentechnik.
• Parallaxe misst Sterngrößen. Parallaxe misst Entfernung, mit derselben geometrischen Triangulation, die Vermessungsingenieure nutzen — je größer die Basislinie, desto weiter reicht die Messung. Die Basis von 2 AE aus dem Jahresumlauf der Erde macht das Parsec zu einer natürlichen Einheit.

Verwandte Werkzeuge: Mechanik für die zugrunde liegende Kinematik, Moderne Physik für relativistische Effekte bei hohen Geschwindigkeiten und Rechner für die algebraische Maschinerie hinter den obigen Formeln.