Vier Erhaltungsgrößen leisten die schwere Arbeit: der Impuls (p = mv), wenn keine äußere Kraft wirkt; die mechanische Energie (KE + PE), wenn nur konservative Kräfte wirken; der Drehimpuls, wenn kein äußeres Drehmoment wirkt; die Masse bei gewöhnlichen (nicht nuklearen) Wechselwirkungen. Zusammen lösen sie fast jede Lehrbuchaufgabe.
Wurfbewegung — der parabelförmige Flug
Wird etwas mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel θ über der Horizontalen abgeworfen, wird die Bahn bei vernachlässigbarem Luftwiderstand zur Parabel. Die horizontale und die vertikale Bewegung sind unabhängig: x(t) = v0 cosθ · t (konstante horizontale Geschwindigkeit) und y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (gleichmäßig beschleunigter Fall nach unten). Aus dieser Kinematik folgen drei Zusammenfassungen: Reichweite R = v0² sin(2θ) / g, maximale Höhe H = v0² sin²(θ) / (2g), Flugzeit T = 2v0 sinθ / g (für einen Start vom Boden). Das Beispiel (v0 = 20 m/s, θ = 45°, Erd-g = 9,81 m/s²) ergibt vx = vy = 14,142 m/s, R = 40,775 m, H = 10,194 m und T = 2,883 s. Der Winkel von 45° ergibt bei gegebener Geschwindigkeit die größte Reichweite auf ebenem Boden, und auf dem Mond erreicht derselbe Wurf R = 246,91 m, weil die Schwerkraft sechsmal schwächer ist.
Freier Fall — drei gleichwertige kinematische Formen
Ein aus der Ruhe losgelassener Körper fällt unter konstanter Schwerkraft mit drei austauschbaren Beziehungen: v = gt (Momentangeschwindigkeit zur Zeit t), h = ½g t² (zurückgelegter Fallweg aus der Ruhe nach der Zeit t) und v = √(2gh) (Geschwindigkeit nach dem Fallweg h). Jede ist ein Spezialfall der kinematischen Gleichungen und lässt sich durch Einsetzen in die anderen überführen. Das Beispiel (h = 100 m, Erde) ergibt t = 4,515 s, v = 44,294 m/s und v = 159,46 km/h — ungefähr die Endgeschwindigkeit eines Fallschirmspringers in stabiler Bauchlage. Wechselt man in den Modus aus der Zeit, ergibt ein 3-Sekunden-Fall d = 44,145 m und v = 29,43 m/s (etwa 105,95 km/h). Derselbe Fall auf dem Mond dauert t = 11,11 s und erreicht nur 17,97 m/s — derselbe Fall, sechsmal langsamer.
Schiefe Ebene — Schwerkraft in Komponenten zerlegt
Ein Block der Masse m auf einer Schräge mit dem Winkel θ spürt die Schwerkraft W = mg senkrecht nach unten, aber nur die Komponente entlang der Oberfläche beschleunigt den Block; die Komponente in die Oberfläche wird durch die Normalkraft aufgehoben. Die Zerlegung ist Geometrie: Fparallel = mg sinθ, Normalkraft N = mg cosθ. Die Reibung fügt eine bremsende Kraft f = μN = μmg cosθ hinzu, die der Bewegung entgegenwirkt; der Gleitreibungskoeffizient μ liegt zwischen etwa 0,04 (Stahl auf Eis) und 0,8 (Gummi auf Gummi). Die Nettokraft hangabwärts ist Fnet = mg sinθ − μmg cosθ, woraus die Beschleunigung a = g(sinθ − μ cosθ) folgt. Das Beispiel (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 m/s²) ergibt W = 98,1 N, N = 84,957 N, Fparallel = 49,05 N, f = 16,991 N, Fnet = 32,059 N und a = 3,206 m/s². Der Block rutscht hinab, weil die Parallelkomponente die Reibung übersteigt. Erhöht man μ auf 0,6, wird die Nettokraft negativ — der Block bleibt stehen (oder rutscht zurück, wenn man ihn geschoben hat); die Reibung hat gewonnen. Der Winkel, bei dem ein reibender Block gerade zu rutschen beginnt, ist arctan(μ), der Reibungswinkel; darunter hält die Haftreibung den Block.
Newtons 2. Gesetz — F = m · a, drei Berechnungsmodi
Newtons 2. Gesetz in skalarer Form lautet F = m · a: Die Nettokraft auf einen Körper ist gleich seiner Masse mal seiner Beschleunigung. Die Vorgabe (Masse 10 kg, Beschleunigung 5 m/s²) ergibt F = 50 N. Wechselt man die Auswahl, löst dasselbe Feld nach Masse (m = F / a), Beschleunigung (a = F / m) oder Gewicht (W = m · g, mit Erd-Schwerebeschleunigung 9,81 m/s²). Eine 70 kg schwere Person hat W = 686,7 N auf der Erde und W = 113,4 N auf dem Mond — dieselbe Person, dieselbe Masse, aber ein sechsfacher Gewichtsunterschied, weil die Schwerkraft sechsmal schwächer ist. Das Gewicht ist eine Kraft (Newton); die Masse ist eine Stoffmenge (Kilogramm).
Impuls und Kraftstoß — die beiden Erhaltungssätze
Ein bewegter Körper trägt den Impuls p = mv, einen Vektor in Richtung der Geschwindigkeit. Um den Impuls eines Körpers zu ändern, braucht man den Kraftstoß J = FΔt = Δp, gleich der Kraft mal der Einwirkdauer. Das Beispiel (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0,5 s) ergibt p = 30 kg·m/s, KE = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12,5 m/s und eine Endgeschwindigkeit von vfinal = 27,5 m/s, wenn der Stoß in Bewegungsrichtung wirkt. Derselbe Kraftstoß durch eine kleinere Kraft über eine längere Zeit (ein „weicher“ Fang) oder durch eine größere Kraft über eine kürzere Zeit (ein „harter“ Zusammenstoß) ergibt dieselbe Impulsänderung. In einem abgeschlossenen System ohne äußere Kräfte bleibt der Gesamtimpuls erhalten: Ein 2-kg-Körper mit 15 m/s, der auf einen ruhenden 1-kg-Körper trifft, endet mit v1' = 5 m/s und v2' = 20 m/s (vollkommen elastisch) oder beide teilen sich eine gemeinsame Geschwindigkeit v = 10 m/s (vollkommen unelastisch). Diese Buchführung liegt jeder Stoßanalyse zugrunde, vom Billard bis zu Protonenstrahlen.
Arbeit, Energie und Leistung — die erhaltene Buchführung
Wenn eine Kraft einen Körper über eine Strecke bewegt, verrichtet sie die Arbeit W = F · d (das Skalarprodukt macht dies auch für schräge Kräfte exakt: Gezählt wird nur die Komponente von F entlang d). Die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Bewegung hat, ist die kinetische Energie KE = ½mv²; die Energie aufgrund seiner Lage im Schwerefeld ist die potentielle Energie PE = mgh. Die gesamte mechanische Energie E = ½mv² + mgh bleibt erhalten, wenn nur die Schwerkraft wirkt (keine Reibung, keine äußeren Kräfte) — deshalb schwingt ein Pendel in jedem Zyklus bis zur gleichen Höhe, und ein nach oben geworfener Ball kehrt auf dem Weg nach unten mit seiner Abwurfgeschwindigkeit zurück. Leistung P = W / t misst die Rate, mit der Arbeit verrichtet wird. Das Beispiel (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9,81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) ergibt KE = 250 J, PE = 981 J, mechanische Gesamtenergie = 1231 J, W = 200 J, P = 100 W und P = 0,1341 hp.
Häufige Missverständnisse
- Schwerere Körper fallen schneller als leichte. Im Vakuum ist es umgekehrt: Jeder Körper beschleunigt mit demselben g, unabhängig von seiner Masse. Der Luftwiderstand bricht die Gleichheit, weil er mit der Querschnittsfläche skaliert, nicht mit dem Gewicht — eine Feder und ein Hammer, gemeinsam auf der Erde fallen gelassen, treffen zu verschiedenen Zeiten auf; auf dem Mond (ohne Luft) treffen sie gleichzeitig auf, was während Apollo 15 live vorgeführt wurde.
- Kraft und Geschwindigkeit sind dasselbe. Kraft bewirkt Beschleunigung (F = ma); Geschwindigkeit ist, was man durch eine dauerhaft wirkende Kraft erhält. Ein festgefahrenes Auto hat Kraft an den Rädern, aber null Geschwindigkeit; ein Eishockey-Puck gleitet über reibungsfreies Eis mit konstanter Geschwindigkeit, bei null Nettokraft.
- Impuls und kinetische Energie sind dasselbe. Beide verschwinden in Ruhe, skalieren aber unterschiedlich. Verdoppelt man die Geschwindigkeit, verdoppelt sich der Impuls (p = mv), aber die kinetische Energie vervierfacht sich (KE = ½mv²). Ein 2-t-Lkw mit 60 mph hat denselben Impuls wie ein 1-t-Auto mit 120 mph, aber die doppelte kinetische Energie.
- „g“ ist eine Kraft. g ist die Fallbeschleunigung (m/s²). Die Kraft der Schwerkraft auf einen Körper ist W = mg. Eine Masse von 1 kg wiegt auf der Erde 9,81 N; auf dem Mond wiegt sie 1,62 N, weil g sechsmal kleiner ist.
Verwandte Werkzeuge: Vektorrechner zum Zerlegen von Kräften und Geschwindigkeiten in Komponenten, Elektrizität & Schaltungen für den elektromagnetischen Kontext, Wellen & Schwingungen für die schwingenden Verwandten der Wurfbewegung, Rotation & Drehmoment für das Drehimpuls-Gegenstück zur geradlinigen Bewegung und Thermodynamik & Wärme für die Energieseite der Mechanik.
