Zwei Erhaltungssätze leisten die schwere Arbeit: Die Massenerhaltung liefert die Kontinuitätsgleichung (Q = A·v, A1v1 = A2v2), die Energieerhaltung entlang einer Stromlinie liefert die Bernoulli-Gleichung (P + ½ρv² + ρgh = konstant). Alles Übrige — Auftrieb, hydrostatischer Druck, Reibung — ist ein Spezialfall oder eine Folge davon.
Archimedisches Prinzip — verdrängtes Gewicht
Jeder Körper, der in einer Flüssigkeit untergetaucht ist, spürt eine nach oben gerichtete Kraft, die dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit entspricht: Fb = ρ·V·g, wobei ρ die Dichte der Flüssigkeit ist, V das verdrängte Volumen und g die Fallbeschleunigung. Das Beispiel (ρ = 1000 kg/m³ Süßwasser, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) ergibt Fb ≈ 98,1 N — das Gewicht von 10 kg Wasser. Genau deshalb schwimmt ein 10-kg-Holzklotz (Dichte 700 kg/m³) halb untergetaucht: Die Hälfte seines Volumens verdrängt die Hälfte seines Gewichts. Ein Körper schwimmt, wenn seine mittlere Dichte kleiner ist als die der Flüssigkeit; er sinkt, wenn sie größer ist; er schwebt, wenn beide gleich sind. Bei Gasen gilt dieselbe Beziehung mit ρ um 1,2 kg/m³ auf Meereshöhe, weshalb ein Heliumballon nur etwa 1 Gramm pro Liter trägt — der Dichteunterschied ist winzig.
Hydrostatischer Druck — Gewicht der Flüssigkeitssäule
In einer ruhenden Flüssigkeit steigt der Druck linear mit der Tiefe: P = P0 + ρg·h, wobei P0 der Druck an der Oberfläche ist (atmosphärisch, 101.325 Pa auf Meereshöhe). Das Beispiel (20 m Süßwasser) ergibt einen Überdruck von ρg·h = 196.200 Pa und einen Gesamtdruck von 297.525 Pa (etwa 2,94 atm, 2,98 bar). Der Druck hängt nur von der Tiefe und der Dichte der Flüssigkeit ab, nicht von der Form des Behälters — das „hydrostatische Paradoxon“ — denn jedes Flüssigkeitselement in der Tiefe h trägt dieselbe Gewichtssäule über sich. Pascals Prinzip: Eine Druckänderung in einer eingeschlossenen Flüssigkeit wird ungeschwächt auf jeden Teil übertragen; deshalb vervielfachen hydraulische Hebebühnen die Kraft: Eine kleine Kraft auf einen kleinen Kolben erzeugt denselben Druck wie ein großer Kolben, der mit entsprechend großer Kraft gehoben wird.
Bernoulli — Energie entlang einer Stromlinie
Für stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung bleibt die Energie pro Volumeneinheit entlang jeder Stromlinie erhalten: P + ½ρv² + ρgh = konstant. Das Beispiel beginnt bei atmosphärischem Druck, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, und endet bei v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — der Rechner liefert P2 ≈ 144.375 Pa bei einer Konstanten von etwa 201.425 Pa. Die Höhenabnahme erhöht den Druckanteil aus der Lage; die Geschwindigkeitszunahme verringert den statischen Druck. Dies ist das Arbeitsprinzip des Venturirohrs (eine Verengung im Rohr beschleunigt die Strömung und senkt den Druck), des Vergasers (eine Engstelle im Luftkanal senkt den Druck und saugt Kraftstoff an), des Flugzeugflügels (die Oberseite beschleunigt die Luft, senkt deren Druck und hebt den Flügel) und des Pitotrohrs (die Druckdifferenz misst die Geschwindigkeit). Bernoulli versagt überall dort, wo die Strömung nicht stationär, nicht inkompressibel oder nicht reibungsfrei ist — besonders bei hohen Reynolds-Zahlen, wo Turbulenz den Druck verrauscht und die Formel zeitlich mittelt. Der Auftrieb eines Tragflügels beruht vor allem auf Newtons drittem Gesetz — der Umlenkung der Luftströmung nach unten — mit der Bernoulli-Druckdifferenz als Buchführung, nicht als Ursache.
Durchfluss — wie viel pro Sekunde
Der volumetrische Durchfluss ist Q = A·v, wobei A die Querschnittsfläche und v die mittlere Geschwindigkeit ist. Das Beispiel (A = 0,05 m², v = 3 m/s) ergibt Q = 0,15 m³/s = 150 L/s, also 9 m³ pro Minute. Bei inkompressibler Strömung durch ein sich veränderndes Rohr erzwingt die Massenerhaltung A1·v1 = A2·v2: Halbiert man den Querschnitt, verdoppelt sich die Geschwindigkeit. Deshalb spritzt ein Gartenschlauch mit dem Daumen am Ende weiter, und deshalb wird eine Flussverengung bei Stromschnellen zu Wildwasser. Die Kontinuitätsregel gilt lokal zu jedem Zeitpunkt; die Geschwindigkeit „erinnert sich“ nicht an frühere Abschnitte. Bei kompressibler Strömung (Gasleitungen, Strahltriebwerke) ist die richtige Erhaltungsgröße der Massenstrom ρA·v, der konstant bleibt, wenn kein Fluid zugeführt oder entnommen wird.
Stokes-Reibung — das laminare Ende des Strömungswiderstands
Für eine Kugel mit dem Radius r, die sich bei niedriger Geschwindigkeit durch eine Flüssigkeit der Viskosität μ bewegt, gilt die Reibungskraft Fd = 6πμr·v. Das Beispiel (μ = 0,001 Pa·s Wasser, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) ergibt Fd ≈ 9,42×10−5 N (etwa 94 μN). Die Beziehung ist linear in v, weil bei kleiner Reynolds-Zahl das Nachlaufgebiet symmetrisch ist und die Viskosität dominiert; die Arbeit, die die Kugel gegen die Reibung leistet, wird in viskose Erwärmung der Flüssigkeit umgewandelt. Die Stokes-Reibung gilt nur bei Re < 1 — für eine 1-cm-Kugel in Wasser bedeutet das Geschwindigkeiten unter etwa 10−4 m/s. Bei höheren Geschwindigkeiten wird der Widerstandsbeiwert annähernd konstant, und die Kraft skaliert mit v² statt mit v. Die Stokes-Reibung bestimmt das Absinken von Staub in der Luft, das Schwimmen von Bakterien und das Absinken feiner Sedimente durch Wasser.
Reynolds-Zahl — Ordnung gegen Chaos
Die dimensionslose Kennzahl Re = ρvL/μ vergleicht Trägheitskräfte mit Zähigkeitskräften. Das Beispiel (Wasser, v = 1 m/s, L = 0,1 m) ergibt Re ≈ 100.000, deutlich im turbulenten Bereich. Empirisch gilt: Re < ~2.000 bedeutet laminare Strömung (glatt, vorhersagbar, parallele Stromlinien); Re > ~4.000 bedeutet turbulent (chaotisch, mischend, mit Wirbeln); dazwischen liegt der schmale Übergangsbereich. Der Blutfluss in der Aorta (Re ~ 4.000) liegt an der Grenze; in Kapillaren (Re ~ 0,001) ist er eindeutig laminar, und die Stokes-Reibung gilt. Die Luft über einem Flugzeugflügel wird absichtlich turbulent gemacht, um das Ablösen der Strömung zu verzögern. Die Reynolds-Zahl ist der Grund, weshalb Rohre eine „kritische Geschwindigkeit“ haben, oberhalb derer die Pumpkosten stark steigen, und weshalb der Rauch einer Kerze einige Zentimeter lang als glatte laminare Fahne aufsteigt, bevor er in chaotische Schlieren zerfällt.
Häufige Missverständnisse
- Die Archimedes-Kraft kommt vom Boden, der nach oben drückt. Sie entsteht als Integral des Drucks über die gesamte benetzte Oberfläche. Der Druck ist unten höher, aber auch die Seitenbeiträge sind nicht null, und die Nettokraft ist genau das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit — deshalb ändert die Form des Behälters das Ergebnis nicht.
- Flugzeugflügel tragen, weil die Oberseite länger ist und die Luft „aufholen muss“. Der Auftrieb entsteht durch eine Druckdifferenz, die durch Zirkulation und die Flügelform erzeugt wird; die Gleichzeitigkeit der Laufzeiten ist eine volkstümliche Herleitung, die zufällig den richtigen Zahlenwert aus falschem Grund liefert. Bei langsamen Flügeln ist der dominante Mechanismus die Druckverteilung, nicht ein „Beschleunigen über der Oberseite“.
- Das Stokes-Gesetz gilt bei jeder Geschwindigkeit. Nur wenn Re < 1 ist. Eine 1 cm große Stahlkugel, die in Wasser fällt, erreicht Re = 1 bei einigen Zehntelmillimetern pro Sekunde; darüber wird das Nachlaufgebiet unsymmetrisch, und die Reibung steigt in Richtung eines v²-Verhaltens. Stokes unterschätzt die Reibung für alles, was einer Murmel ähnelt.
- Druck drückt von der Flüssigkeit immer nach außen. In einer ruhenden Flüssigkeit ist der Druck isotrop: Er drückt in alle Richtungen gleich stark. Der „Stoß von unten“ auf eine eingetauchte Fläche ist nur die nach unten gerichtete Komponente desselben Drucks, der auf jedem Quadratzentimeter auch seitlich und nach oben drückt.
Verwandte Werkzeuge: Mechanik für Kraft, Arbeit und Energie, Thermodynamik für kompressible Strömung und Gasdynamik sowie der Einheitenumrechner zum Umrechnen zwischen Pa, bar, atm und psi.
