Simulationen sind Gleichungen, sichtbar gemacht: dieselbe Algebra, dieselben Konstanten, dieselben Randbedingungen — als Animation dargestellt, die Sie Parameter verändern und das Ergebnis mitverfolgen lässt. Nutzen Sie sie, um Anschauung aufzubauen: Verändern Sie den Abwurfwinkel und beobachten Sie, wie die Reichweite bei 45° ihr Maximum erreicht; ändern Sie das Vorzeichen der Ladung und sehen Sie zu, wie sich die Feldlinien umkehren; ändern Sie die Wellenlänge und beobachten Sie, wie sich das Interferenzmuster verengt oder ausbreitet.
Wurfbewegung — die klassische Parabel
Ein Ball, der mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel θ aus der Höhe h0 abgeworfen wird, folgt den Parametergleichungen x(t) = v0 cosθ · t und y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Die Canvas zeichnet die Bahn, während der Ball fliegt, und meldet die Endreichweite, die Flugzeit und die maximale Höhe. Das Beispiel (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, Erd-g = 9,81 m/s²) ergibt Flugzeit ≈ 3,604 s, Reichweite ≈ 63,70 m und maximale Höhe ≈ 15,929 m. Wechselt man zur Mond-Vorgabe (g = 1,62), erreicht derselbe Wurf ≈ 385,8 m in ≈ 21,82 s — dieselbe Parabel, sechsmal länger und weiter, genau das, was Mondsportarten so absurd macht und was Astronaut Alan Shepard mit seinem improvisierten Golfschläger (Eisen 6) ausnutzte. Die Canvas zeichnet die Bahn neu, wobei ein roter Punkt die Position des Balls verfolgt und Reichweite und maximale Höhe direkt im Diagramm beschriftet werden.
Pendel — harmonisch und chaotisch
Ein einfaches Pendel der Länge L, aus dem Winkel θ losgelassen, gehorcht θ″(t) = −(g/L) sinθ, hier mit dem semi-impliziten Euler-Verfahren integriert. Bei kleinen Amplituden (sinθ ≈ θ) ist die Bewegung harmonisch mit der Periode T = 2π√(L/g); das Standardbeispiel L = 1,5 m auf der Erde ergibt T ≈ 2,458 s. Bei größeren Amplituden wird die Periode etwas länger, weil sinθ keine gute lineare Näherung mehr ist — ein Ausschlag von 60° ist etwa 7 % langsamer als einer von 5° bei gleicher Länge. Das Doppelpendel ist ein anderes Tier: zwei starre Stäbe mit Massen an den Gelenken, beschrieben durch gekoppelte nichtlineare Gleichungen, auf dieselbe Weise integriert, aber mit Chaos. Winzige Unterschiede im Anfangswinkel führen innerhalb weniger Zyklen zu völlig verschiedenen Bahnen — das Kennzeichen des deterministischen Chaos, weshalb Doppelpendel das Lehrbuchbeispiel eines chaotischen mechanischen Systems sind. Wechselt man im Auswahlmenü von „Einfach“ zu „Doppelt“, erscheint der zweite Stab mit dem Anfangswinkel θ2; drückt man Start und beobachtet das Schwingmuster, wie es sich unvorhersehbar auseinanderentwickelt. Die Einzelpendel-Simulation dämpft außerdem jeden Bildschritt (Faktor 0,9995), so wie ein reales Pendel Energie an Luftwiderstand und Aufhängungsreibung verliert.
Welleninterferenz — Überlagerung zweier Quellen
Zwei Punktquellen senden kreisförmige Wellen gleicher Wellenlänge λ aus; an jedem Punkt der Ebene ist die resultierende Störung die Summe beider. Wo die beiden Wellenberge phasengleich eintreffen, verdoppelt sich die Amplitude (konstruktive Interferenz); wo ein Wellenberg der einen auf ein Wellental der anderen trifft, löschen sie sich aus (destruktive Interferenz). Die Bedingung für konstruktive Interferenz lautet r1 − r2 = mλ für ganzzahliges m; für destruktive r1 − r2 = (m + ½)λ. Die Canvas zeichnet eine Intensitätskarte (hell = hohe Amplitude, dunkel = Auslöschung) und legt die Knotenlinien über r1 − r2 = mλ (mit der gestrichelten Option). Der Standardabstand (120 px = 3λ) zeigt deutliche abwechselnd helle und dunkle Streifen entlang der Mittelsenkrechten — dasselbe Muster, das in Thomas Youngs Doppelspaltexperiment die hellen und dunklen Streifen erzeugt und die farbigen Bänder des Lichts liefert, das an einem Ölfilm reflektiert wird.
Feldlinien des elektrischen Feldes — die Dichte zeigt die Stärke
Das elektrische Feld um eine Punktladung Q ist ein radialer Vektor vom Betrag E = kQ/r²; bei zwei Ladungen ist das Feld an jedem Punkt die Vektorsumme Egesamt = E1 + E2. Die Canvas zeichnet 16 Feldlinien aus dem Quellbereich, mit einem Euler-Schritt der Größe 4 px in Richtung des lokalen Feldes. Linien gehen von positiven Ladungen aus (Q > 0) und enden an negativen (Q < 0); im Standardbeispiel (Q1 = +5, Q2 = −3, mit |Q1·Q2| = 15) zeigt das Muster Linien, die von der roten +-Ladung links ausgehen, sich nach außen krümmen, und die meisten enden auf der blauen −-Ladung rechts, wenige entweichen ins Unendliche (weil die Beträge ungleich sind). Die Dichte der Feldlinien ist proportional zur Feldstärke: Dicht gepackte Linien bedeuten ein starkes Feld, weit auseinanderliegende ein schwaches. Umkehren beider Vorzeichen kehrt die Linienrichtungen um, ohne die Geometrie zu ändern.
Kraftzusammensetzung — das Polygonverfahren
Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, ist die Resultierende ihre vektorielle Summe, nicht ihre skalare. Beim Polygonverfahren (oder Spitze-an-Ende-Verfahren) wird jeder Kraftvektor Spitze an Ende ab dem Ursprung angesetzt; die Resultierende R ist der Vektor vom Ursprung zur letzten Spitze. Komponentenweise: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²) und θR = arctan(Ry/Rx). Die Canvas zeichnet jede Kraft als farbigen Pfeil (F1 rot, F2 blau, F3 grün) ab dem Ursprung, dann eine gestrichelte violette Linie vom Ursprung zur letzten Spitze, die die Resultierende zeigt, sowie hellgraue Polygonlinien, die den Weg Spitze an Ende nachzeichnen. Das Beispiel (F1 = 30 N bei 0°, F2 = 25 N bei 60°, F3 = 15 N bei 150°) ergibt Rx ≈ 29,51 N, Ry ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N und θR ≈ 44,65° — ein Betrag, der größer ist als jede einzelne Eingangskraft, weil sich die Richtungen teilweise verstärken.
Häufige Missverständnisse
- Die Canvas zeigt die tatsächliche Physik, keine Skizze. Jedes Bild wird aus der zugrunde liegenden Gleichung berechnet (Euler-Integration für Pendel, Superposition für Wellen, Vektorsumme für Kräfte). Ändern Sie die Eingaben, ändern Sie die Mathematik; die Animation ist eine direkte numerische Visualisierung.
- Die Periode eines Pendels hängt von seiner Amplitude ab. Bei kleinen Amplituden (unter etwa 15°) ist die Periode nahezu amplitudenunabhängig und beträgt T = 2π√(L/g). Bei größeren Amplituden wird die Periode deutlich länger — ein Ausschlag von 90° dauert etwa 18 % länger, als die Kleinwinkelformel vorhersagt. Das „Sekundenpendel“ einer Standuhr ist genau für kleine Ausschläge ausgelegt, um seine Periode völlig konstant zu halten.
- Elektrische Feldlinien sind real. Sie sind eine Visualisierung des Feldes, keine physikalischen Fäden. Das tatsächliche elektrische Feld ist an jedem Punkt im Raum ein Vektor; Linien verbinden nur Punkte, an denen das Feld stetig tangential verläuft. Eine Feldlinie kann man nicht „anfassen“.
- Das Polygon- und das Parallelogrammverfahren liefern unterschiedliche Ergebnisse. Sie liefern dieselbe Resultierende. Das Parallelogrammverfahren funktioniert für zwei Kräfte; das Polygonverfahren lässt sich natürlich auf beliebig viele erweitern. Beide sind gleichwertige Anwendungen der Vektoraddition.
Verwandte Werkzeuge: Mechanik für die numerischen kinematischen Formeln, Vektorrechner für Komponentenzerlegung sowie Skalar- und Vektorprodukt, Wellen & Schwingungen für die vollständigen Gleichungen laufender Wellen, Elektrizität & Schaltungen für die Entsprechungen von Strom und Spannung und Optik & Licht für die optische Version der Welleninterferenz (Youngs Doppelspalt).
