Αριθμομηχανή αστροφυσικής

Η αστροφυσική είναι το κομμάτι της φυσικής που χρησιμοποιεί τη βαρύτητα και την κίνηση ως γλώσσα λειτουργίας για τα πάντα, από ένα φεγγάρι μέχρι έναν γαλαξία. Έξι αριθμομηχανές σε αυτόν τον πίνακα απαντούν στα έξι επαναλαμβανόμενα ερωτήματα που μπορεί κανείς να θέσει για οποιοδήποτε σώμα ή τροχιά: πόσο γρήγορα πρέπει να εκτοξευθεί κάτι για να εγκαταλείψει το σύστημα; Πόσο γρήγορα για να περιστρέφεται γύρω του; Πόση ώρα διαρκεί μια τροχιά; Πόσο μικρή θα έπρεπε να συμπιεστεί η ίδια μάζα για να γίνει μαύρη τρύπα; Πόσο delta-v κερδίζει ένας πύραυλος ανά κλάσμα καυσίμου; Και πόσο μακριά είναι ένας γαλαξίας του οποίου το φως μετατοπίζεται προς το κόκκινο; Όλα τα υπόλοιπα — αποστάσεις μετρημένες με παράλλαξη σε σχέση με τη βάση της τροχιάς της Γης ενός αστρονομικού μονάδος (AU = 1,496×10¹¹ m), μεγέθη ως λογαριθμική κατάταξη της φωτεινότητας, και ερυθρή μετατόπιση z ≈ v/c ως η χαμηλής ταχύτητας μορφή του νόμου του Hubble — στηρίζονται στο ίδιο νευτώνειο και σχετικιστικό υπόβαθρο.

Κάθε σώμα μάζας M και ακτίνας R δημιουργεί ένα πηγάδι δυναμικής ενέργειας βάθους GM/R ανά μονάδα μάζας. Για να ανέβει κανείς έξω από την επιφάνεια χρειάζεται κινητική ενέργεια τουλάχιστον ίση με αυτό το βάθος, και αυτό δίνει την ταχύτητα διαφυγής. Βάλτε τη Γη: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — ο πίνακας επιστρέφει v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, περίπου Mach 33). Ο Άρης έχει ≈ 5,03 km/s, η Σελήνη 2,38 km/s, ο Δίας 60 km/s (όπου το υδρογόνο είναι κακό καύσιμο πυραύλου, αλλά τα μαθηματικά είναι τα ίδια) και ο Ήλιος 618 km/s. Σημείωση: ο τύπος υποθέτει χωρίς ατμοσφαιρική αντίσταση και χωρίς περαιτέρω πρόωση· ο πραγματικός αριθμός για κάθε πύραυλο περιλαμβάνει αεροδυναμικές απώλειες, απώλειες βαρύτητας κατά την ανάβαση και απώλειες καθοδήγησης. Είναι επίσης η ταχύτητα από ηρεμία στην επιφάνεια· ένα αντικείμενο που ήδη βρίσκεται σε τροχιά χρειάζεται μικρότερο Δv για διαφυγή από το ύψος του, ποτέ την πλήρη τιμή της επιφάνειας. Η ίδια κλιμάκωση καθορίζει το βάρος στην επιφάνεια: στον Άρη (g = 3,71 m/s²) ένας αστροναύτης 70 kg ζυγίζει 260 N — η μάζα δεν αλλάζει, το βάρος ακολουθεί την τοπική βαρύτητα.

Μια σταθερή κυκλική τροχιά εξισορροπεί την κεντρομόλο επιτάχυνση με τη βαρύτητα: v_o = √(GM/r). Η προεπιλογή Γης του πίνακα στο r = 7×10⁶ m (περίπου 629 km υψόμετρο — περιοχή του ISS) δίνει v_o ≈ 7 546 m/s και περίοδο 5 829 s (~1,62 ώρες). Ο πραγματικός ISS βρίσκεται σε ~408 km και περιστρέφεται σε ~92,7 λεπτά· το υψόμετρο του πίνακα είναι ενδεικτικός αριθμός, όχι πρόγραμμα πτήσης. Η σχέση δίνει επίσης τη διαφυγή — με πολλαπλασιασμό του v_o επί √2 προκύπτει το v_e στο ίδιο υψόμετρο. Η ταχύτητα τροχιάς είναι ανεξάρτητη από τη μάζα που περιστρέφεται· ένα φτερό και ένα θωρηκτό στην ίδια τροχιά κινούνται με την ίδια ταχύτητα (στο κενό), γι' αυτό η τροχιακή μηχανική αντιμετωπίζει τους δορυφόρους ως σημειακά σωματίδια.

T² = (4π²/GM) · a³ συνδέει την περίοδο τροχιάς με τον μεγάλο ημιάξονα. Η προεπιλογή Ήλιου-Γης του πίνακα (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU εξ ορισμού) δίνει T ≈ 365,21 ημέρες, ακριβώς τη διάρκεια του έτους. Η αντίστροφη λύση — δεδομένης της περιόδου σε δευτερόλεπτα, υπολογισμός του a — είναι ο τρόπος που μετρούν οι αστρονόμοι τον μεγάλο ημιάξονα κάθε δορυφόρου του οποίου μπορούν να χρονομετρήσουν την περίοδο. Η ίδια βάση 1 AU είναι επίσης ο ορισμός του παρσέκ: ένα αστέρι που δείχνει μετατόπιση παράλλαξης 1 τόξου-δευτερολέπτου καθώς η Γη διαγράφει 2 AU βρίσκεται ακριβώς 1 παρσέκ = 3,26 έτη φωτός μακριά — και 1 παρσέκ = 206 265 AU. Τα χιλιόμετρα και τα έτη φωτός γίνονται απροσπέλαστα σε διαστρικές κλίμακες· τα παρσέκ και τα AU είναι οι εργαζόμενες μονάδες.

Όταν μια μάζα M συμπιέζεται κάτω από την ακτίνα Schwarzschild της R_s = 2GM/c², κανένα σήμα από το εσωτερικό δεν μπορεί να ανέβει έξω: είναι ο ορίζοντας μιας μη περιστρεφόμενης μαύρης τρύπας. Οι αριθμοί είναι εκπληκτικά μικροί για συνηθισμένες μάζες: η R_s της Γης είναι περίπου 8,87 mm — μικρότερη από ένα μάρμαρο· του Ήλιου περίπου 2,95 km. Για να καταρρεύσει οποιοδήποτε από τα δύο, θα απαιτούνταν πυκνότητες που καμία γνωστή κατάσταση της ύλης δεν παρέχει. Οι πραγματικές μαύρες τρύπες σχηματίζονται με τον αστρικό θάνατο, όπου τα 14,76 km για ένα υπόλειμμα 5 M_⊙ (η προεπιλογή «μικρή ΜΤ» του πίνακα) είναι η σωστή τάξη μεγέθους για αντικείμενα τύπου Cygnus X-1, ενώ μια υπερμεγέθης μαύρη τρύπα 4×10⁶ M_⊙ όπως η Sagittarius A* στο γαλαξιακό κέντρο έχει R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (περίπου 17% της τροχιάς του Ερμή). Η ακτίνα Schwarzschild είναι πρόβλεψη συντεταγμένης της γενικής σχετικότητας· ο πραγματικός ορίζοντας μιας περιστρεφόμενης (Kerr) μαύρης τρύπας διαφέρει και μπορεί να είναι μικρότερος.

Η διατήρηση της ορμής για έναν πύραυλο που εκτοξεύει καυσαέρια προς τα πίσω με ταχύτητα v_e και λόγο μαζών m₀/m_f δίνει Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Το φορτωμένο δείγμα του πίνακα (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) δίνει Δv ≈ 6 907,76 m/s για λόγο μαζών 10 και κλάσμα καυσίμου 90%. Η εξίσωση είναι σκληρά λογαριθμική: ο διπλασιασμός του καυσίμου προσθέτει v_e·ln(2) σε Δv, ποτέ δεν το διπλασιάζει. Η χαμηλή τροχιά της Γης χρειάζεται περίπου 9,4 km/s Δv συνολικά· η μεταφορική τροχιά γεωστατικής τροχιάς περίπου 11,5 km/s· η μεταφορά προς τη Σελήνη περίπου 12,5 km/s — ο λόγος που οι πύραυλοι έχουν βαθμίδες, γιατί οι ανώτερες βαθμίδες είναι μικρά κλάσματα της μάζας εκτόξευσης, και γιατί η μονοβάθμια πρόσβαση σε τροχιά παραμένει δύσκολη.

Η παρατήρηση του Edwin Hubble το 1929 ότι οι γαλαξίες απομακρύνονται με ταχύτητα ανάλογη της απόστασης δίνει d = v/H₀. Με το H₀ = 70 km/s/Mpc του πίνακα, ένας γαλαξίας με v = 1 000 km/s βρίσκεται στα d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ έτη φωτός. Για κοντινούς γαλαξίες η ταχύτητα υποχώρησης είναι μικρό κλάσμα του c, οπότε z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3· ο γραμμικός νόμος του Hubble είναι τότε ειδική περίπτωση της κοσμολογικής υποχώρησης σε διαστελλόμενο σύμπαν. Η σχέση καταρρέει σε υψηλή ερυθρή μετατόπιση (z > 0,1), όπου αναλαμβάνει το πλήρες κοσμολογικό μοντέλο· γι' αυτό η ενημερωτική περιοχή προειδοποιεί ότι ο τύπος ισχύει για «σχετικά κοντινούς» γαλαξίες — η ίδια επιφύλαξη ισχύει για χρήση των v_e ή v_o κοντά στην ταχύτητα του φωτός (οι σχετικιστικές διορθώσεις έχουν σημασία). Η κλίμακα αποστάσεων του Hubble — παράλλαξη, μεταβλητά Cepheid, υπερκαινοφανείς τύπου Ia, ροή Hubble — είναι αυτό που βαθμονομεί το ίδιο το H₀, και η σημερινή ένταση του H₀ μεταξύ τοπικών και από το CMB συναγόμενων τιμών παραμένει ένα από τα ανοιχτά προβλήματα της κοσμολογίας.

• Η ταχύτητα διαφυγής είναι ταχύτητα εκτόξευσης από το έδαφος. Είναι η ταχύτητα από ηρεμία στη δεδομένη ακτίνα χωρίς περαιτέρω πρόωση· ένας πύραυλος που ανεβαίνει με σταθερή χαμηλή ώση για ώρες δεν χρειάζεται να φτάσει το v_e σε καμία στιγμή.
• Οι μαύροι κόμβοι απορροφούν τα πάντα σαν σκούπα. Η ακτίνα του ορίζοντα ορίζεται από τη κεντρική μάζα, όχι από το αντικείμενο που «έλκεται». Στο r » R_s η βαρύτητα είναι απλώς του Newton· μόνο πολύ κοντά στον ορίζοντα γίνεται ανέκφυγη. Ο Ήλιος, αν ήταν μαύρη τρύπα της ίδιας μάζας, δεν θα άλλαζε καθόλου την τροχιά της Γης.
• Περισσότερο καύσιμο σημαίνει ανάλογα περισσότερο Δv. Η εξίσωση Tsiolkovsky είναι λογαριθμική: διπλασιασμός του καυσίμου προσθέτει v_e·ln(2), δεν διπλασιάζει το Δv. Αυτός είναι ο πιο σημαντικός αριθμός για τη μηχανική πυραύλων.
• Η παράλλαξη μετρά το μέγεθος των αστέρων. Η παράλλαξη μετρά απόσταση, με την ίδια γεωμετρική τριγωνομέτρηση που χρησιμοποιούν οι τοπογράφοι — όσο μεγαλύτερη βάση, τόσο μακρύτερη η απόσταση. Η βάση 2 AU από την ετήσια τροχιά της Γης κάνει τα παρσέκ φυσική μονάδα.

Σχετικά εργαλεία: Μηχανική για τη βασική κινηματική, Σύγχρονη φυσική για σχετικιστικά φαινόμενα σε μεγάλες ταχύτητες, και Αριθμομηχανή για την αλγεβρική μηχανή που εκτελεί τους παραπάνω τύπους.