Τέσσερα διατηρούμενα μεγέθη κάνουν τη βαριά δουλειά: η ορμή (p = mv) όταν δεν ασκείται εξωτερική δύναμη· η μηχανική ενέργεια (KE + PE) όταν ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις· η στροφορμή όταν δεν ασκείται εξωτερική ροπή· η μάζα σε συνήθεις (μη πυρηνικές) αλληλεπιδράσεις. Μαζί λύνουν σχεδόν κάθε άσκηση του εγχειριδίου.
Βολή — η παραβολική πτήση
Όταν εκτοξεύεται οτιδήποτε με αρχική ταχύτητα v0 υπό γωνία θ πάνω από το οριζόντιο, η τροχιά γίνεται παραβολή όταν η αντίσταση αέρα είναι αμελητέα. Οι οριζόντιες και κατακόρυφες κινήσεις είναι ανεξάρτητες: x(t) = v0 cosθ · t (σταθερή οριζόντια ταχύτητα) και y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κατακόρυφη πτώση). Τρία συνοπτικά αποτελέσματα προκύπτουν από αυτή την κινηματική: εμβέλεια R = v0² sin(2θ) / g, μέγιστο ύψος H = v0² sin²(θ) / (2g), χρόνος πτήσης T = 2v0 sinθ / g (για εκτόξευση από το επίπεδο του εδάφους). Το προεπιλεγμένο δείγμα (v0 = 20 m/s, θ = 45°, g της Γης = 9,81 m/s²) δίνει vx = vy = 14,142 m/s, R = 40,775 m, H = 10,194 m και T = 2,883 s. Η γωνία 45° δίνει τη μέγιστη εμβέλεια σε οριζόντιο έδαφος για δεδομένη ταχύτητα, και στη Σελήνη η ίδια εκτόξευση φτάνει R = 246,91 m, γιατί η βαρύτητα είναι έξι φορές ασθενέστερη.
Ελεύθερη πτώση — τρεις ισοδύναμες κινηματικές μορφές
Ένα αντικείμενο που αφήνεται από ηρεμία πέφτει υπό σταθερή βαρύτητα με τρεις εναλλάξιμες σχέσεις: v = gt (στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t), h = ½g t² (απόσταση που διανύθηκε από ηρεμία μετά από χρόνο t) και v = √(2gh) (ταχύτητα μετά από πτώση απόστασης h). Κάθε μία είναι ειδική περίπτωση των κινηματικών εξισώσεων και μετατρέπεται στις άλλες με αντικατάσταση. Το προεπιλεγμένο δείγμα (h = 100 m, Γη) δίνει t = 4,515 s, v = 44,294 m/s και v = 159,46 km/h — περίπου η οριακή ταχύτητα για αλεξιπτωτιστή σε σταθερή θέση με τεντωμένα άκρα. Με τη λειτουργία από χρόνο μια πτώση 3 δευτερολέπτων δίνει d = 44,145 m και v = 29,43 m/s (περίπου 105,95 km/h). Η ίδια πτώση στη Σελήνη διαρκεί t = 11,11 s και φτάνει μόνο 17,97 m/s — η ίδια πτώση, έξι φορές πιο αργή.
Κεκλιμένο επίπεδο — η βαρύτητα σε συνιστώσες
Ένα σώμα μάζας m σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ δέχεται τη βαρύτητα W = mg κατακόρυφα προς τα κάτω, αλλά μόνο η συνιστώσα κατά μήκος της επιφάνειας επιταχύνει το σώμα· η συνιστώσα προς την επιφάνεια αντισταθμίζεται από την κάθετη δύναμη. Ο διαχωρισμός είναι γεωμετρία: Fparallel = mg sinθ, κάθετη N = mg cosθ. Η τριβή προσθέτει αντιστατική δύναμη f = μN = μmg cosθ αντίθετη στην κίνηση· ο συντελεστής κινητικής τριβής μ κυμαίνεται από περίπου 0,04 (χάλυβας στον πάγο) έως 0,8 (λάστιχο σε λάστιχο). Η καθαρή δύναμη προς τα κάτω στην κλίση είναι Fnet = mg sinθ − μmg cosθ, με επιτάχυνση a = g(sinθ − μ cosθ). Το προεπιλεγμένο δείγμα (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 m/s²) δίνει W = 98,1 N, N = 84,957 N, Fparallel = 49,05 N, f = 16,991 N, Fnet = 32,059 N και a = 3,206 m/s². Το σώμα γλιστράει προς τα κάτω επειδή η παράλληλη συνιστώσα υπερβαίνει την τριβή. Αν ανέβει το μ στο 0,6, η καθαρή δύναμη γίνεται αρνητική — το σώμα μένει ακίνητο (ή γλιστράει προς τα πάνω αν έχει σπρωχτεί)· η τριβή έχει νικήσει. Η γωνία στην οποία ένα σώμα με τριβή αρχίζει να γλιστρά είναι arctan(μ), η γωνία τριβής· κάτω από αυτή η στατική τριβή συγκρατεί το σώμα.
2ος νόμος του Newton — F = m · a, τρεις λειτουργίες επίλυσης
Ο 2ος νόμος του Newton σε βαθμωτή μορφή είναι F = m · a: η καθαρή δύναμη σε ένα αντικείμενο ισούται με τη μάζα του επί την επιτάχυνσή του. Το προεπιλεγμένο (μάζα 10 kg, επιτάχυνση 5 m/s²) δίνει F = 50 N. Με το αναπτυσσόμενο μενού το ίδιο πάνελ λύνει για μάζα (m = F / a), επιτάχυνση (a = F / m) ή βάρος (W = m · g, με βαρύτητα Γης 9,81 m/s²). Ένα άτομο 70 kg έχει W = 686,7 N στη Γη και W = 113,4 N στη Σελήνη — το ίδιο άτομο, η ίδια μάζα, αλλά εξαπλάσια διαφορά βάρους, επειδή η βαρύτητα είναι έξι φορές ασθενέστερη. Το βάρος είναι δύναμη (νιούτον)· η μάζα είναι ποσότητα ύλης (κιλά).
Ορμή και ώθηση — τα δίδυμα νόμοι διατήρησης
Ένα αντικείμενο σε κίνηση έχει ορμή p = mv, διάνυσμα κατά τη διεύθυνση της ταχύτητας. Για να αλλάξει η ορμή ενός αντικειμένου απαιτείται ώθηση J = FΔt = Δp, ίση με τη δύναμη που ασκείται επί τον χρόνο εφαρμογής. Το προεπιλεγμένο δείγμα (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0,5 s) δίνει p = 30 kg·m/s, KE = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12,5 m/s και τελική ταχύτητα vfinal = 27,5 m/s αν η ώθηση εφαρμοστεί προς την κατεύθυνση της κίνησης. Η ίδια ώθηση από μικρότερη δύναμη σε μεγαλύτερο χρόνο (μαλακή σύλληψη) ή από μεγαλύτερη δύναμη σε μικρότερο χρόνο (σκληρή σύγκρουση) δίνει την ίδια μεταβολή ορμής. Σε κλειστό σύστημα χωρίς εξωτερικές δυνάμεις, η συνολική ορμή διατηρείται: ένα αντικείμενο 2 kg με 15 m/s που χτυπά ένα ακίνητο αντικείμενο 1 kg καταλήγει με v1' = 5 m/s και v2' = 20 m/s (τέλεια ελαστική) ή και τα δύο μοιράζονται κοινή ταχύτητα v = 10 m/s (τέλεια ανελαστική). Αυτή η λογιστική είναι η βάση κάθε ανάλυσης σύγκρουσης, από το μπιλιάρδο έως τις δέσμες πρωτονίων.
Έργο, ενέργεια και ισχύς — η διατηρούμενη λογιστική
Όταν μια δύναμη μετακινεί ένα αντικείμενο σε απόσταση, παράγει έργο W = F · d (το εσωτερικό γινόμενο το κάνει ακριβές για δυνάμεις εκτός άξονα: μετράει μόνο η συνιστώσα της F κατά μήκος του d). Η ενέργεια που έχει ένα αντικείμενο λόγω της κίνησής του είναι η κινητική ενέργεια KE = ½mv²· η ενέργεια που έχει λόγω της θέσης του σε βαρυτικό πεδίο είναι η δυναμική ενέργεια PE = mgh. Η ολική μηχανική ενέργεια E = ½mv² + mgh διατηρείται όταν ενεργεί μόνο η βαρύτητα (χωρίς τριβή, χωρίς εφαρμοζόμενες δυνάμεις) — γι' αυτό ένα εκκρεμές ταλαντεύεται στο ίδιο ύψος σε κάθε κύκλο, και γι' αυτό μια μπάλα που εκσφενδονίζεται προς τα πάνω επιστρέφει με την ταχύτητα εκτόξευσης στην κάθοδο. Η ισχύς P = W / t μετρά τον ρυθμό παραγωγής έργου. Το προεπιλεγμένο δείγμα (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9,81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) δίνει KE = 250 J, PE = 981 J, ολική μηχανική ενέργεια = 1231 J, W = 200 J, P = 100 W και P = 0,1341 hp.
Συνηθισμένες παρανοήσεις
- Τα βαρύτερα αντικείμενα πέφτουν ταχύτερα από τα ελαφρύτερα. Στο κενό ισχύει το αντίθετο: κάθε αντικείμενο επιταχύνεται με την ίδια g ανεξάρτητα από τη μάζα. Η αντίσταση του αέρα σπάει την ισοπαλία επειδή κλιμακώνεται με τη διατομή, όχι με το βάρος — ένα φτερό και ένα σφυρί που αφήνονται μαζί στη Γη φτάνουν στο έδαφος σε διαφορετικές στιγμές, αλλά στη Σελήνη (χωρίς αέρα) φτάνουν μαζί, όπως επιδείχθηκε ζωντανά στην αποστολή Apollo 15.
- Η δύναμη και η ταχύτητα είναι το ίδιο πράγμα. Η δύναμη προκαλεί επιτάχυνση (F = ma)· η ταχύτητα είναι αυτό που προκύπτει από διαρκή δύναμη. Ένα ακινητοποιημένο αυτοκίνητο έχει δύναμη στους τροχούς αλλά μηδενική ταχύτητα· ένας δίσκος χόκεϊ γλιστράει σε παγωμένη επιφάνεια χωρίς τριβή με σταθερή ταχύτητα και μηδενική καθαρή δύναμη.
- Η ορμή και η κινητική ενέργεια είναι το ίδιο. Και οι δύο μηδενίζονται στην ηρεμία, αλλά κλιμακώνονται διαφορετικά. Διπλασιασμός της ταχύτητας διπλασιάζει την ορμή (p = mv) αλλά τετραπλασιάζει την κινητική ενέργεια (KE = ½mv²). Ένα φορτηγό 2 τόνων στα 60 mph έχει την ίδια ορμή με ένα αυτοκίνητο 1 τόνου στα 120 mph, αλλά η κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου του 1 τόνου είναι διπλάσια από αυτή του φορτηγού.
- Το «g» είναι δύναμη. Το g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας (m/s²). Η δύναμη της βαρύτητας πάνω σε αντικείμενο είναι W = mg. Μια μάζα 1 kg ζυγίζει 9,81 N στη Γη· στη Σελήνη ζυγίζει 1,62 N, γιατί το g είναι έξι φορές μικρότερο.
Σχετικά εργαλεία: Διανυσματική αριθμομηχανή για ανάλυση δυνάμεων και ταχυτήτων σε συνιστώσες, Ηλεκτρισμός & κυκλώματα για το ηλεκτρομαγνητικό πλαίσιο της δύναμης, Κύματα & ταλαντώσεις για τα ταλαντούμενα ανάλογα της βολής, Περιστροφή & ροπή για το αντίστοιχο στροφορμής της ευθύγραμμης κίνησης, και Θερμοδυναμική & θερμότητα για την ενεργειακή πλευρά της μηχανικής.
