Τρία γινόμενα κάνουν όλη τη δουλειά που απαιτείται: το εσωτερικό γινόμενο (βαθμωτό που μετρά την ευθυγράμμιση, A·B = |A||B|cosθ), το εξωτερικό γινόμενο (διάνυσμα κάθετο και στις δύο εισόδους, μέγεθος |A||B|sinθ) και ο τελεστής προβολής (συνιστώσα του A κατά μήκος μιας επιλεγμένης κατεύθυνσης). Είναι η λογιστική κάθε φυσικού τύπου που περιλαμβάνει περισσότερα από ένα διανύσματα.
Μέτρο και το κανονικό παράδειγμα 2D
Το ορθογώνιο τρίγωνο 3-4-5 είναι το κανονικό παράδειγμα για 2D διανύσματα. Πάρτε A = (3, 4). Το μέτρο του είναι |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Η κατεύθυνσή του από τον θετικό άξονα x είναι arctan(4/3) ≈ 53,13°. Κάθε 2D διάνυσμα γράφεται ως μέτρο επί ένα μοναδιαίο διάνυσμα που δείχνει προς αυτή την κατεύθυνση: A = 5·(0,6, 0,8). Ο πίνακας ανάλυσης δέχεται μέτρο και γωνίες θ και φ και επιστρέφει τις συνιστώσες x, y, z με είτε σφαιρική σύμβαση (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) είτε επίπεδη (με αγνοούμενο το φ, x = r cosθ, y = r sinθ). Για r = 10, θ = 36,87° σε λειτουργία 2D επιστρέφει (8, 6, 0) — το τρίγωνο 6-8-10, κλιμακωμένο από το αρχικό 3-4-5. Η αναγνώριση αυτών των ακέραιων τριγώνων είναι η συντομογραφία για να βρεθούν οι κάθετες συνιστώσες χωρίς τριγωνομετρία.
Εσωτερικό γινόμενο — βαθμωτό μέτρο ευθυγράμμισης
Για δύο διανύσματα A και B, το εσωτερικό γινόμενο A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) είναι βαθμωτό ίσο με |A||B|cosθ — δηλαδή το γινόμενο των μέτρων επί το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Το προεπιλεγμένο δείγμα 2D (A = (3, 4), B = (5, 2)) δίνει A·B = 15 + 8 = 23, μέτρα |A| = 5 και |B| = √29 ≈ 5,385, και cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, άρα θ ≈ 31,33°. Τρεις συνέπειες προσήμου φέρουν όλη την ερμηνεία: cosθ > 0 σημαίνει οξεία γωνία και διανύσματα που γενικά δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση· cosθ < 0 αμβλεία και αντίρροπα διανύσματα· cosθ = 0 κάθετα. Το εσωτερικό γινόμενο είναι το έργο που παράγει μια δύναμη F κατά μήκος μετατόπισης d (W = F·d), και το συνημίτονο είναι ο λόγος για τον οποίο η ώθηση υπό γωνία είναι λιγότερο αποτελεσματική από την ώθηση κατά μήκος της κίνησης.
Εξωτερικό γινόμενο — διάνυσμα κάθετο και στις δύο εισόδους
Το εξωτερικό γινόμενο είναι πράξη μόνο 3D, με αποτέλεσμα διάνυσμα κάθετο και στις δύο εισόδους, μέτρο |A||B|sinθ και κατεύθυνση που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού (με τον δείκτη κατά μήκος του A, τον μέσο κατά μήκος του B, ο αντίχειρας δίνει το A×B). Σε συνιστώσες, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Το προεπιλεγμένο δείγμα 3D (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) δίνει A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό: B×A = −A×B, οπότε η εναλλαγή των εισόδων αλλάζει το πρόσημο. Τρεις εμφανίσεις στη φυσική: η ροπή τ = r×F (περιστροφική δύναμη), η στροφορμή L = r×p (τροχιακή στροφορμή) και η μαγνητική δύναμη F = qv×B σε κινούμενο φορτίο. Το μέτρο |A×B| ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα δύο διανύσματα, γι' αυτό τα αποτελέσματα εξωτερικού γινομένου περιγράφουν πάντα εμβαδόν ή περιστροφή. Η ροπή είναι το εξωτερικό γινόμενο στη δράση: τ = r×F έχει μέτρο |r||F|sinθ, οπότε η ώθηση μέσω του άξονα δίνει μηδέν και ένα μακρύτερο κλειδί δίνει περισσότερη ροπή.
Γωνία μεταξύ διανυσμάτων
Μόλις υπάρχουν το εσωτερικό γινόμενο και τα μέτρα, η γωνία είναι ένα τόξο-συνημίτονο: cosθ = A·B/(|A||B|), με θ στο [0, π]. Ένα μικρό εσωτερικό γινόμενο σε σχέση με τα μέτρα σημαίνει σχεδόν κάθετα διανύσματα· εσωτερικό γινόμενο ίσο με |A||B| σημαίνει ότι τα διανύσματα δείχνουν την ίδια κατεύθυνση (θ = 0)· εσωτερικό γινόμενο ίσο με −|A||B| σημαίνει αντίθετα (θ = π). Ο τύπος είναι ίδιος σε 2D και 3D· διαφέρει μόνο η διάσταση των αθροισμάτων των συνιστωσών. Γεωμετρικά, το εσωτερικό γινόμενο μπορεί να θεωρηθεί ως προβολή του A στο B (ή του B στο A), πολλαπλασιασμένη με το μέτρο του άλλου, οπότε το συνημίτονο είναι κυριολεκτικά ο λόγος προβολής.
Μοναδιαίο διάνυσμα και προβολή
Ένα μοναδιαίο διάνυσμα είναι διάνυσμα με μέτρο 1 που δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με το αρχικό: u = A / |A|. Τα μοναδιαία διανύσματα είναι ο τρόπος περιγραφής της «καθαρής κατεύθυνσης»· τα βασικά διανύσματα i, j, k των καρτεσιανών συντεταγμένων είναι τα κανονικά παραδείγματα, και κάθε κατεύθυνση στον 3D γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός τους. Η προβολή του A στο B (ή η συνιστώσα του A κατά μήκος του B) είναι projBA = (A·B / |B|²) · B — το μέρος του A που βρίσκεται κατά μήκος του B. Η βαθμωτή εκδοχή (A·B/|B|) είναι το προσημασμένο μήκος αυτής της προβολής. Αυτό κάνει το εσωτερικό γινόμενο τον τύπο του έργου: η συνιστώσα της μετατόπισης κατά μήκος της δύναμης, επί το μέτρο της δύναμης, είναι το έργο που παράγεται.
Παρανοήσεις
- Το εσωτερικό γινόμενο είναι πολλαπλασιασμός διανυσμάτων. Είναι το βαθμωτό γινόμενο — παράγει αριθμό, όχι διάνυσμα. Ομοίως, το εξωτερικό γινόμενο είναι το διανυσματικό γινόμενο. Το να τα λέμε «πολλαπλασιασμό» κρύβει ότι έχουν εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα.
- Το εξωτερικό γινόμενο είναι βαθμωτό. Στις 2D η κάθετη συνιστώσα μερικές φορές λέγεται βαθμωτό (η ορίζουσα axby − aybx), αλλά στις 3D το εξωτερικό γινόμενο είναι πραγματικά διάνυσμα. Και το μέγεθος και η κατεύθυνση έχουν φυσική σημασία.
- Το εξωτερικό γινόμενο είναι αντιμεταθετικό. Είναι αντισυμμετρικό: A×B = −B×A. Η σειρά μετράει — η ροπή r×F είναι αντίθετης φοράς από το F×r.
- Ένα διάνυσμα έχει σταθερή θέση. Τα διανύσματα είναι ελεύθερα — μπορούν να μετακινηθούν στη σελίδα χωρίς να αλλάξουν. Σταθερά είναι το μέτρο και η κατεύθυνσή τους· μόνο συγκεκριμένα διανύσματα στη φυσική (διανύσματα θέσης, ηλεκτρικό πεδίο σε σημείο) είναι δεμένα με θέση.
Σχετικά εργαλεία: Μηχανική για τη ροπή, το έργο και τη στροφορμή σε πλαίσιο, Περιστροφική δυναμική για το πώς το εξωτερικό γινόμενο δομεί τη στροφορμή, και Κυκλώματα για τη μαγνητική δύναμη F = qv×B.
