Κάθε μέτρηση είναι αριθμός με έναν ειλικρινή συνοδό: πόσο σίγουροι μπορούμε να είμαστε; Ο συνοδός έχει δύο μέρη — ένα τυχαίο σφάλμα, που η επανάληψη της μέτρησης μειώνει με τον μέσο όρο, και ένα συστηματικό σφάλμα, μια μεροληψία που επιμένει όσες φορές κι αν μετρηθεί. Η ειλικρινής αναφορά οποιασδήποτε ποσότητας είναι επομένως x ± u(x), όπου το u είναι καλά ορισμένη αβεβαιότητα· το σύμβολο ± είναι συντομογραφία για «περίπου αυτό το εύρος με τόση πιθανότητα». Οι τέσσερις αριθμομηχανές του πίνακα καλύπτουν τα εργαλεία εργασίας: καταμέτρηση σημαντικών ψηφίων (η συντομογραφία λογιστικής), διάδοση αβεβαιοτήτων σε αθροίσματα, διαφορές, γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις (ο λογισμός των λαθών), τυπική απόκλιση (πόσο διασκορπισμένα είναι τα δεδομένα) και η συνδυασμένη αβεβαιότητα τύπου GUM πολλαπλών ανεξάρτητων συνιστωσών.
Δύο είδη σφάλματος, δύο αντίθετες συμπεριφορές: το τυχαίο σφάλμα μικραίνει ανάλογα με την τετραγωνική ρίζα του N (σ/√N), οπότε ο μέσος όρος πάντα κερδίζει· το συστηματικό σφάλμα δεν μικραίνει καθόλου, γι' αυτό η βαθμονόμηση έχει μεγαλύτερη σημασία από την επανάληψη. Μια μέτρηση μπορεί να έχει μικροσκοπικό σ και εξακολουθεί να είναι λανθασμένη λόγω μεροληψίας.
Σημαντικά ψηφία — η συντομογραφία λογιστικής
Ένα σημαντικό ψηφίο είναι ψηφίο που είναι γνωστό με βεβαιότητα· τα μηδενικά που συμπληρώνουν έναν αριθμό σε συμβατικό μέγεθος δεν είναι. Πέντε κανόνες: (1) όλα τα μη μηδενικά ψηφία είναι σημαντικά, (2) τα μηδενικά ανάμεσα σε μη μηδενικά είναι σημαντικά, (3) τα αρχικά μηδενικά δεν είναι σημαντικά (απλώς τοποθετούν την υποδιαστολή), (4) τα τελικά μηδενικά μετά την υποδιαστολή είναι σημαντικά, (5) τα τελικά μηδενικά χωρίς υποδιαστολή είναι ασαφή (χρησιμοποιείται επιστημονική γραφή). Η προεπιλεγμένη τιμή 0,0070800 έχει επομένως 5 σημαντικά ψηφία (7, 0, 8, 0, 0) και διαβάζεται ως (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Η αναφορά 0,0070800 υπονοεί την ίδια ακρίβεια με την αναφορά 7,0800×10−3· η αναφορά 0,00708 υπονοεί χιλιαπλάσια λιγότερη ακρίβεια. Η συντομογραφία λειτουργεί για σχολικές αναφορές· για πραγματική μέτρηση, η αβεβαιότητα u είναι ο ειλικρινής αριθμός, και τα σημαντικά ψηφία είναι βολικός τρόπος να εκφραστεί χωρίς να γράφεται το ± κάθε φορά.
Διάδοση σφάλματος — ο λογισμός των λαθών
Για z = f(x, y), ο κανόνας συνδυασμού ανεξάρτητων αβεβαιοτήτων είναι σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Για τις τέσσερις εργαζόμενες πράξεις, αυτό ανάγεται σε: πρόσθεση/αφαίρεση προσθέτουν τα απόλυτα σφάλματα τετραγωνικά σz = √(σx² + σy²)· πολλαπλασιασμός/διαίρεση προσθέτουν τα κλασματικά σφάλματα τετραγωνικά σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²)· η δύναμη xn κλιμακώνει το κλασματικό σφάλμα με |n|: σz/z = |n|σx/x. Το προεπιλεγμένο δείγμα (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, πρόσθεση) δίνει z = 15 και σz ≈ 0,36, ή 15,00 ± 0,36 (περίπου 2,4% σχετικά). Η αλλαγή σε πολλαπλασιασμό με τα ίδια δεδομένα δίνει z = 50 ± 2,5 (5% σχετικά) — τα ίδια ± μεγέθη, πολύ διαφορετικός κανόνας διάδοσης, και η σχετική αβεβαιότητα του γινομένου ισούται με το τετραγωνικό άθροισμα των σχετικών αβεβαιοτήτων. Οι απόλυτες αβεβαιότητες είναι το σωστό νόμισμα για αθροίσματα και διαφορές· οι κλασματικές για γινόμενα και πηλίκα.
Τυπική απόκλιση — διασπορά των δεδομένων
Η τυπική απόκλιση σ είναι η τετραγωνική ρίζα της μέσης τετραγωνικής απόκλισης από τον μέσο όρο. Υπάρχουν δύο εκδοχές, ανάλογα με το τι αντιπροσωπεύουν τα δεδομένα: η πληθυσμιακή σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) περιγράφει τη διασπορά κάθε μέλους ενός γνωστού συνόλου· η δειγματική s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) εκτιμά τη διασπορά του μεγαλύτερου πληθυσμού από τον οποίο προήλθε το δείγμα. Το προεπιλεγμένο δείγμα (10 τιμές από 12,2 έως 12,8 με μέσο 12,5) δίνει πληθυσμιακή σ ≈ 0,1732, δειγματική s ≈ 0,1826 και SEM = s/√N ≈ 0,0577. Η αβεβαιότητα του ίδιου του μέσου είναι σ/√N (ή s/√N για τη δειγματική εκδοχή), γι' αυτό η μέση τιμή 25 μετρήσεων ενός μεγέθους μειώνει την αβεβαιότητα κατά παράγοντα 5 σε σύγκριση με μία μέτρηση. Η τυπική απόκλιση τροφοδοτεί επίσης τα διαστήματα εμπιστοσύνης: για κανονική κατανομή, ±1σ περιέχει το 68,3%, ±2σ το 95,5%, ±3σ το 99,7%.
Εκτεταμένη αβεβαιότητα — συνδυασμός όλων των πηγών
Όταν μια μέτρηση έχει πολλαπλές ανεξάρτητες πηγές σφάλματος (ανάλυση οργάνου, βαθμονόμηση, επαναληψιμότητα, θερμική μετατόπιση, επίδραση χειριστή), η συνδυασμένη αβεβαιότητα τύπου GUM είναι uc = √(Σui²). Οι πηγές ταξινομούνται ως Τύπου A (στατιστικές, από δεδομένα) και Τύπου B (όλα τα υπόλοιπα, με αβεβαιότητες που εκτιμώνται με κρίση ή προδιαγραφή κατασκευαστή)· και οι δύο τροφοδοτούν το uc με τον ίδιο τρόπο. Ένας συντελεστής κάλυψης k κλιμακώνει έπειτα το διάστημα σε επιλεγμένη εμπιστοσύνη: k = 1 για 68,3%, k = 2 για 95,5%, k = 2,58 για 99,0%, k = 3 για 99,7%. Το προεπιλεγμένο δείγμα (πηγές 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) δίνει uc ≈ 0,1797 mm και U = k·uc ≈ 0,3595 mm στο 95,5%. Η τιμή αναφέρεται ως (μέτρηση ± 0,36) mm με αυτή την εμπιστοσύνη. Το GUM (ISO/IEC Guide 98-3) είναι το διεθνές πρότυπο για τη διαδικασία. Τα συστατικά Τύπου A προέρχονται από στατιστικές επαναλαμβανόμενων ενδείξεων, τα Τύπου B από προδιαγραφές οργάνων και κρίση· και τα δύο συνδυάζονται με το ίδιο τετραγωνικό άθροισμα.
Συνηθισμένες παρανοήσεις
- Περισσότερα σημαντικά ψηφία σημαίνει ακριβέστερη μέτρηση. Μόνο αν αυτά τα ψηφία προήλθαν πραγματικά από τη μέτρηση. Ένα μήκος «12,34567 m» γραμμένο με το χέρι δεν είναι ακριβές κατά 1 στα 10 εκατομμύρια — τα σημαντικά ψηφία είναι τρόπος επικοινωνίας της ακρίβειας, όχι τρόπος δημιουργίας της. Η αναφορά με ± είναι ειλικρινέστερη από τη συμπλήρωση με επινοημένα ψηφία.
- Το συστηματικό σφάλμα μειώνεται με μέσο όρο. Το αντίθετο: τα τυχαία σφάλματα μειώνονται με 1/√N, αλλά μια συστηματική μεροληψία (ζυγαριά με λανθασμένη βαθμονόμηση, μηδέν εκτός κέντρου) μένει ακέραιη όσες μετρήσεις κι αν γίνουν. Η μεροληψία εντοπίζεται και αφαιρείται. Αυτή είναι η παγίδα του «τα δεδομένα είναι τόσο αναπαραγώγιμα!» σε ένα χαλασμένο πείραμα.
- Η τυπική απόκλιση δίνει πληροφορία για το σφάλμα μίας μέτρησης. Χαρακτηρίζει τη διασπορά της κατανομής, όχι το σφάλμα κάθε μεμονωμένης δοκιμής. Το τυπικό σφάλμα του μέσου όρου (s/√N) είναι το σχετικό μέγεθος όταν αναφέρεται πόσο καλά είναι γνωστό το x̄ από δείγμα N.
- Η αβεβαιότητα είναι πάντα ± στο τελευταίο ψηφίο. Η τυπική σύμβαση είναι «στρογγυλοποίηση της αβεβαιότητας σε ένα (μερικές φορές δύο) σημαντικά ψηφία, και έπειτα στρογγυλοποίηση της τιμής ώστε να ταιριάζει». Μια μέτρηση 12,345678 ± 0,234 αναφέρεται ως 12,35 ± 0,23, όχι ως 12,345678 ± 0,234.
Σχετικά εργαλεία: Στατιστική για τις υποκείμενες κατανομές πιθανότητας, Μηχανική για τις πειραματικές διατάξεις που παράγουν τους αριθμούς, και Αριθμομηχανή για την άλγεβρα της διάδοσης.
