Αριθμομηχανή κυμάτων & ταλαντώσεων

Οι ταλαντώσεις και τα κύματα είναι η ίδια υποκείμενη φυσική με διαφορετικά κοστούμια. Μια ταλάντωση είναι οτιδήποτε κινείται πέρα δώθε γύρω από μια θέση ισορροπίας — μάζα σε ελατήριο, βαρίδι εκκρεμούς, τάση στα άκρα πυκνωτή, το ύψος της χορδής κιθάρας, η πίεση μέσα σε ηχητικό κύμα. Ένα κύμα είναι ταλάντωση που ταξιδεύει: η ίδια κίνηση πέρα δώθε, αλλά τώρα συμβαίνει σε ελαφρώς διαφορετική χρονική στιγμή σε κάθε σημείο του χώρου, οπότε ένα στιγμιότυπο δείχνει ημιτονοειδές μοτίβο που διαδίδεται. Και τα δύο διέπονται από μία διαφορική εξίσωση, τον απλό αρμονικό ταλαντωτή (SHM) x''(t) = -ω²x(t), του οποίου η γενική λύση είναι το ημίτονο x(t) = A cos(ωt + φ). Από εκεί προκύπτουν η περίοδος T = 2π/ω, η συχνότητα f = ω/(2π), η μέγιστη ταχύτητα v_max = Aω, η μέγιστη επιτάχυνση a_max = Aω². Έξι ενότητες αυτής της σελίδας καλύπτουν τις κλασικές περιπτώσεις: το ίδιο το SHM, το εκκρεμές ως ρολόι, την εξίσωση κύματος v = fλ για κύματα που ταξιδεύουν, τη μετατόπιση Doppler όταν κινούνται η πηγή ή ο παρατηρητής, τον συντονισμό LC ως ηλεκτρικό ανάλογο μάζας σε ελατήριο, και τη συχνότητα διακροτήματος όταν δύο κοντινοί τόνοι συμβάλλουν.

Το SHM είναι κάθε κίνηση όπου η δύναμη επαναφοράς (ή η ροπή, ή η τάση, ή η διαφορά πίεσης) είναι ανάλογη της μετατόπισης από τη θέση ισορροπίας. Η μάζα σε ελατήριο είναι το κλασικό παράδειγμα: F = -kx δίνει x'' = -(k/m)x, άρα ω = √(k/m). Η θέση σε κάθε χρόνο είναι x(t) = A cos(ωt + φ), η ταχύτητα v(t) = -Aω sin(ωt + φ), η επιτάχυνση a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Με το δείγμα (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Αν εισαχθεί και χρόνος t, ο υπολογιστής αναφέρει τα στιγμιαία x(t), v(t), a(t) — τρία ημίτονα εκτός φάσης κατά 90°. Το SHM εμφανίζεται σε ατομικά πλέγματα (όπου μοντελοποιεί φωνόνια), σε κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (όπου η τάση και το ρεύμα ταλαντώνονται ημιτονοειδώς με ω = 2πf) και σε κάθε μικρή ταλάντωση γύρω από ισορροπία.

Ένα εκκρεμές μήκους L που ταλαντώνεται υπό βαρύτητα g σε μικρές γωνίες (θ < ~15°) ικανοποιεί την εξίσωση SHM με ω = √(g/L). Η περίοδος είναι η διάσημη T = 2π√(L/g), την οποία ο Γαλιλαίος παρατήρησε πρώτος ότι δεν εξαρτάται από τη μάζα του βαριδίου ούτε από το πόσο το ταλαντώνει κανείς. Με L = 1 m και g = 9,81 m/s² (Γη), T ≈ 2,006 s, το κλασικό «εκκρεμές του δευτερολέπτου» που έδωσε στο μέτρο τον αρχικό ορισμό του (ημιπερίοδος = 1 s). Στη Σελήνη, με g = 1,62 m/s², το ίδιο εκκρεμές του 1 m χρειάζεται T ≈ 4,94 s· στον Άρη (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Πάνω από πλάτος ~15° η προσέγγιση της μικρής γωνίας αρχίζει να αποκλίνει και μπαίνει όρος διόρθωσης, γι' αυτό ένα πραγματικό ρολόι εκκρεμούς χρησιμοποιεί μακρύ αργό εκκρεμές (χαμηλό πλάτος) αντί για κοντό γρήγορο. Το βάρος του βαριδίου απλοποιείται στο √(g/L): βαρύ και ελαφρύ βαρίδι στο ίδιο νήμα διατηρούν πανομοιότυπες περιόδους.

Κάθε ταξιδεύον κύμα, είτε ήχος, είτε φως, είτε νερό, είτε σεισμικό, υπακούει στην ίδια θεμελιώδη σχέση: v = fλ — η ταχύτητα του κύματος ισούται με τη συχνότητα επί το μήκος κύματος. Τρεις λειτουργίες εδώ λύνουν για οποιονδήποτε έναν άγνωστο, δεδομένων των άλλων δύο. Το δείγμα (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) δίνει v = 343,2 m/s — ακριβώς η ταχύτητα του ήχου στον αέρα στους 20°C. Τρεις ταχύτητες αναφοράς αγκυρώνουν τις τάξεις μεγέθους: ο ήχος στον αέρα ~343 m/s, ο ήχος στο νερό ~1480 m/s, το φως στο κενό c = 3×10⁸ m/s. Για να μεταφερθεί το κύμα από το ένα μέσο στο άλλο χρησιμοποιείται ο νόμος του Snell (καλύπτεται στη σελίδα οπτικής) για τη διάθλαση, αλλά μέσα σε ένα ομογενές μέσο το v ορίζεται από τις ιδιότητες του μέσου (πυκνότητα και ακαμψία για τον ήχο, διηλεκτρική και μαγνητική διαπερατότητα για το φως).

Το φαινόμενο Doppler είναι η αλλαγή της παρατηρούμενης συχνότητας όταν η πηγή και ο παρατηρητής κινούνται ο ένας ως προς τον άλλο. Ο κλασικός τύπος είναι f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), όπου το άνω πρόσημο στον αριθμητή ισχύει όταν ο παρατηρητής κινείται προς την πηγή (ακούει υψηλότερο τόνο) και το κάτω πρόσημο στον παρονομαστή όταν η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή (ακούει και πάλι υψηλότερο τόνο). Δείγμα (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, πηγή ακίνητη, παρατηρητής που κινείται προς την πηγή με 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, μετατόπιση +87,46 Hz ή +8,75%. Η ίδια πηγή των 30 m/s που κινείται προς ακίνητο ακροατή δίνει την ίδια απάντηση (ο τύπος είναι συμμετρικός). Σε μεγάλες ταχύτητες η σχετικιστική διόρθωση γίνεται σημαντική· για ένα όργανο ραντάρ που μετρά αυτοκίνητο στα 30 m/s ο παράγοντας γ διαφέρει από το 1 μόνο κατά ~5×10⁻¹⁷, γι' αυτό ο κλασικός τύπος αρκεί για τον ήχο, ενώ το φως απαιτεί τη σχετικιστική εκδοχή.

Ένα κύκλωμα LC (πηνίο L παράλληλα με πυκνωτή C) είναι το ηλεκτρικό ανάλογο της μάζας σε ελατήριο: το φορτίο παίζει τον ρόλο της μετατόπισης, το ρεύμα της ταχύτητας, η αυτεπαγωγή L του μάζας και το 1/C της σκληρότητας του ελατηρίου. Το φορτίο ταλαντώνεται με ω = 1/√(LC), ισοδύναμα f = 1/(2π√(LC)). Το δείγμα (L = 100 mH, C = 10 μF) δίνει LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, άρα f ≈ 159,15 Hz με γωνιακή συχνότητα ω ≈ 1000 rad/s και περίοδο T ≈ 6,28×10⁻³ s. Τα πραγματικά κυκλώματα LC έχουν και αντίσταση, που προκαλεί απόσβεση της ταλάντωσης· αυτός ο ρυθμός απόσβεσης είναι αυτό που ελαχιστοποιεί ο συντονιστής ενός ραδιοφώνου AM για να επιλέξει καθαρά έναν σταθμό. Η προσθήκη εξωτερικής πηγής στη συχνότητα f αναγκάζει το κύκλωμα σε συντονισμό, με πλάτη τάσης και ρεύματος πολύ μεγαλύτερα από ό,τι εκτός συντονισμού.

Όταν δύο τόνοι ελαφρώς διαφορετικών συχνοτήτων παίζουν μαζί, η πίεση του αέρα είναι το άθροισμα δύο ημιτόνων· που με τριγωνομετρία ισούται με ένα συνημίτονο στη μέση συχνότητα f_p = (f₁ + f₂)/2 διαμορφωμένο από αργή περιβάλλουσα στο f_beat = |f₁ − f₂|. Το αυτί ακούει τη μέση τονικότητα να ανεβοκατεβαίνει με τον ρυθμό του διακροτήματος. Το δείγμα (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) δίνει f_beat = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, περίοδος διακροτήματος = 0,2 s — ευδιάκριτος παλμός 5 φορές το δευτερόλεπτο. Κάτω από ~10 Hz τα διακροτήματα ακούγονται ως χωριστοί παλμοί· πάνω από ~30 Hz συγχωνεύονται σε τραχύτητα ή τρεμολό. Οι κουρδιστές πιάνου το εκμεταλλεύονται: χτυπούν μια τονική αναφορά και τη χορδή που ρυθμίζεται, ακούν τα διακροτήματα και στρέφουν ώσπου να εξαφανιστούν. Όταν οι χορδές είναι τέλεια συντονισμένες, f_beat = 0 και ο υπολογιστής αναφέρει «Ταυτόσημες συχνότητες — χωρίς διακροτήματα».

• Η περίοδος και η συχνότητα δεν είναι το ίδιο. Το T (δευτερόλεπτα ανά κύκλο) και το f (κύκλοι ανά δευτερόλεπτο) είναι αντίστροφα. T = 1/f. Μια ταλάντωση 0,5 Hz χρειάζεται 2 δευτερόλεπτα για έναν κύκλο.
• Η περίοδος του εκκρεμούς εξαρτάται ασθενώς από το πλάτος. Η ακριβής περίοδος για πεπερασμένο πλάτος θ₀ είναι T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Για 15° είναι διόρθωση 0,7%, για 30° περίπου 1,7% — συνήθως αγνοείται στα εισαγωγικά προβλήματα.
• Η μετατόπιση Doppler είναι η ίδια όταν κινείται η πηγή ή ο παρατηρητής. Είτε η πηγή κινείται προς έναν ακίνητο παρατηρητή είτε ο παρατηρητής προς μια ακίνητη πηγή με την ίδια ταχύτητα, η μετατόπιση του τόνου είναι η ίδια (μη σχετικιστικά).
• Ο συντονισμός δεν ταυτίζεται με το μέγιστο πλάτος. Ο συντονισμός είναι η συνθήκη ω_{διέγερσης} = ω_φυσική. Με απόσβεση, το μέγιστο πλάτος είναι μικρότερο από την τιμή χωρίς απόσβεση· χωρίς απόσβεση, το πλάτος αυξάνεται χωρίς όριο (περιορίζεται μόνο από τη μη γραμμικότητα).

Σχετικά εργαλεία: Σύγχρονη φυσική για τα κύματα de Broglie και τη δυαδικότητα κύματος-σωματιδίου, Ηλεκτρισμός & κυκλώματα για την ανάλυση εναλλασσόμενου ρεύματος όπου βρίσκεται ο συντονισμός LC, και Οπτική & φως για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.