Η κλασική μηχανική και ο ηλεκτρομαγνητισμός λειτουργούν άψογα μέχρι είτε οι ταχύτητες να πλησιάσουν την ταχύτητα του φωτός είτε τα μεγέθη να πλησιάσουν την ατομική κλίμακα· η σύγχρονη φυσική είναι το καθεστώς πέρα από αυτά. Χωρίζεται σε τρία κλαδιά: η ειδική σχετικότητα (μεγάλες ταχύτητες, όπου το c είναι το ανώτερο όριο ταχύτητας και η μάζα, το μήκος και ο χρόνος εξαρτώνται από τον παρατηρητή), η κβαντομηχανική (μικρές κλίμακες, όπου η ενέργεια είναι κβαντισμένη, τα σωματίδια έχουν κυματικές ιδιότητες και η ίδια η παρατήρηση επηρεάζει το αποτέλεσμα) και η πυρηνική και σωματιδιακή φυσική (σύνδεση και διάσπαση πυρήνων, όπου η ίδια η μάζα είναι δεξαμενή ενέργειας). Οι έξι αριθμομηχανές του πίνακα καλύπτουν τις εξισώσεις που προκύπτουν από τα τρία κλαδιά — συστολή και διαστολή Lorentz, μήκος κύματος de Broglie, φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, E = mc², ραδιενεργή διάσπαση και το μοντέλο Bohr του υδρογόνου — μαζί με τις καθολικές σταθερές c, h και eV που διαπερνούν όλα τα παραπάνω.
Δύο καθολικές σταθερές κάνουν σχεδόν τα πάντα εδώ: c = 299 792 458 m/s για τη σχετικότητα (η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια προς κάθε κατεύθυνση για κάθε παρατηρητή), και h = 6,626×10−34 J·s για την κβαντική θεωρία (κάθε αλληλεπίδραση ανταλλάσσει ενέργεια σε τμήματα μεγέθους hf). Με τη μετατροπή 1 eV = 1,602×10−19 J για εργασίες ατομικής κλίμακας, οι περισσότεροι αριθμοί του πίνακα χωρούν στο μυαλό.
Ειδική σχετικότητα — το c είναι το όριο
Το postulate του Einstein του 1905: η ταχύτητα του φωτός c είναι η ίδια σε κάθε αδρανειακό σύστημα, και οι φυσικοί νόμοι είναι οι ίδιοι σε κάθε αδρανειακό σύστημα. Η συνέπεια για τον χρόνο και το μήκος είναι ο παράγοντας Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²), που διογκώνει τον χρόνο (Δt = γ·T0) και συρρικνώνει το μήκος (L = L0/γ) στο κινούμενο σύστημα. Το προεπιλεγμένο δείγμα (v = 0,8 c, T0 = 1 s, L0 = 10 m) δίνει γ ≈ 1,667, οπότε ένα ρολόι σε ένα γρήγορα κινούμενο πλοίο μετρά 1 s ιδίου χρόνου ενώ περνούν 1,667 s για τον ακίνητο παρατηρητή, και ένα πλοίο των 10 m φαίνεται να έχει μήκος 6 m. Στα 0,5 c, το γ είναι μόλις 1,155 — σχεδόν αδιόρατο· στα 0,99 c, το γ είναι 7,09 και τα σχετικιστικά φαινόμενα είναι δραματικά. Το δίκτυο GPS πρέπει να διορθώνει τη διαστολή χρόνου των ρολογιών των δορυφόρων σε ταχύτητες τροχιάς (~45 μs/ημέρα πιο αργά) και τη βαρυτική μετατόπιση προς το μπλε (~45 μs/ημέρα πιο γρήγορα)· τα δύο φαινόμενα σχεδόν αλληλοεξουδετερώνονται αλλά όχι ακριβώς — χωρίς διόρθωση, η θέση GPS θα απείχε περίπου 10 km μετά από μία ημέρα.
Μήκος κύματος de Broglie — η ύλη έχει κύματα
Το φως είναι κύμα και ταυτόχρονα σωματίδιο· κατά συμμετρία, κάθε σωματίδιο με ορμή p είναι επίσης κύμα με μήκος κύματος λ = h/p = h/(mv). Το προεπιλεγμένο δείγμα (ηλεκτρόνιο με v = 106 m/s) δίνει λ ≈ 0,727 nm, στο όριο των ακτίνων X και των μαλακών ακτίνων X. Αυτό είναι το όριο διακριτικής ικανότητας ενός ηλεκτρονικού μικροσκοπίου — γι' αυτό η ηλεκτρονική μικροσκοπία υπερέχει της οπτικής κατά τάξεις μεγέθους. Για μπέιζμπολ με 40 m/s (160 km/h), λ ≈ 10−34 m, πολλές τάξεις μικρότερο από ένα πρωτόνιο· γι' αυτό τα μπέιζμπολ δεν περνούν από τις περιφράξεις με περίθλαση. Η δυαδικότητα κύματος-σωματιδίου είναι καθολική· μόνο η σταθερά h εμποδίζει την καθημερινή ύλη να φαίνεται σαν κβαντικό αντικείμενο.
Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο — η κβάντωση αποδείχθηκε
Το φως που πέφτει σε μέταλλο εκτινάσσει ηλεκτρόνια, αλλά μόνο αν η ενέργεια του φωτονίου υπερβαίνει το έργο εξαγωγής φ του μετάλλου: KE = hf − φ, όπου f η συχνότητα του φωτός και h η σταθερά Planck. Το προεπιλεγμένο δείγμα (επιφάνεια τύπου χαλκού με φ = 4,3 eV, λ = 200 nm υπεριώδες) δίνει ενέργεια φωτονίου hf = 1240/200 = 6,2 eV και κινητική ενέργεια ηλεκτρονίου 1,9 eV, με ταχύτητα ηλεκτρονίου περίπου 8,16×105 m/s. Κάτω από την κατωφλιακή συχνότητα (φ/h σε Hz, ή 1240/φ σε nm-eV — 288 nm για τον χαλκό) δεν εκπέμπονται ηλεκτρόνια ανεξάρτητα από την ένταση. Το φαινόμενο ήταν το πείραμα που έκρινε τη συζήτηση κύματος-σωματιδίου το 1905, επειδή η κλασική φυσική προβλέπει ότι η ενέργεια του ηλεκτρονίου πρέπει να εξαρτάται από την ένταση, όχι από τη συχνότητα.
E = mc² — η μάζα είναι ενέργεια
Η ισοδυναμία μάζας-ενέργειας E = mc² συνδέει τη μάζα με την ενέργεια με τεράστια σταθερά αναλογίας (c² = 8,988×1016 J/kg). Ένα κιλό μάζας περιέχει 8,988×1016 J, την ενέργεια που απελευθερώνει ένα θερμοπυρηνικό όπλο 21,5 megaton — ή, ισοδύναμα, η καθημερινή ενεργειακή κατανάλωση ολόκληρης της παγκόσμιας οικονομίας (~5×1020 J) θα απαιτούσε μόλις περίπου 5 500 kg μάζας που εξαϋλώνεται. Στην πράξη η μετατροπή ποτέ δεν είναι πλήρης: η πυρηνική σχάση απελευθερώνει περίπου 0,1% της ενέργειας μάζας, η πυρηνική σύντηξη περίπου 0,7%, και η εξαύλωση ύλης-αντιύλης το πλήρες 100%. Το έλλειμμα μάζας (η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος των μαζών των νουκλεονίων και της πραγματικής μάζας του πυρήνα) είναι η ενέργεια σύνδεσης που απελευθερώνεται όταν σχηματίζονται οι πυρήνες· γι' αυτό οι πίνακες ενέργειας σύνδεσης βρίσκονται δίπλα στους πίνακες μάζας σε κάθε εγχειρίδιο πυρηνικών δεδομένων.
Χρόνος ημιζωής — το πιθανοτικό ρολόι
Κάθε ασταθής πυρήνας έχει σταθερή πιθανότητα διάσπασης ανά μονάδα χρόνου, ανεξάρτητα από την ηλικία του ή το χημικό του περιβάλλον. Το αποτέλεσμα είναι εκθετική διάσπαση: N(t) = N0·(1/2)t/T½. Το προεπιλεγμένο δείγμα (N0 = 1000 άτομα, T½ = 10 s, t = 25 s) δίνει N ≈ 176,78 επιζώντα (περίπου 17,7%) και 823,22 διασπασμένα (82,3%), μετά από 2,5 χρόνους ημιζωής. Ο μέσος χρόνος ζωής είναι τ = T½/ln(2) ≈ 1,443·T½ (το μέσο άτομο επιβιώνει περισσότερο από τον χρόνο ημιζωής, επειδή ορισμένα ζουν πολύ περισσότερο από τη διάμεσο). Η σταθερά διάσπασης λ = ln(2)/T½ είναι η πιθανότητα ανά μονάδα χρόνου· η ενεργότητα A = λ·N είναι διασπάσεις ανά δευτερόλεπτο, με μονάδα το becquerel (1 Bq = 1 διάσπαση/s). Η χρονολόγηση με άνθρακα-14 χρησιμοποιεί ακριβώς αυτή τη σχέση με T½ = 5 730 έτη, για να χρονολογήσει οργανικό υλικό έως περίπου 50 000 ετών· για παλαιότερα δείγματα αναλαμβάνει το κάλιο-αργό (T½ = 1,25 δισεκατομμύρια έτη).
Υδρογόνο του Bohr — κβαντισμένες τροχιές
Το απλούστερο κβαντικό άτομο: ένα ηλεκτρόνιο επιτρέπεται μόνο σε ορισμένες τροχιές με ενέργεια En = −13,6/n² eV (n = 1, 2, 3, ...). Οι μεταπτώσεις μεταξύ τροχιών εκπέμπουν ή απορροφούν φωτόνια με ενέργεια ίση με τη διαφορά. Το προεπιλεγμένο δείγμα (ni = 3 → nf = 2, η γραμμή Hα) δίνει ΔE ≈ 1,889 eV και μήκος κύματος ≈ 656,5 nm, τη βαθύ κόκκινη γραμμή Hα — το ίδιο μήκος κύματος που χρωματίζει ροζ τα νεφελώματα εκπομπής στις φωτογραφίες. Οι μεταπτώσεις προς n = 1 αποτελούν τη σειρά Lyman (υπεριώδες), προς n = 2 τη σειρά Balmer (ορατό), προς n = 3 τη σειρά Paschen (κοντινό υπέρυθρο), και ούτω καθεξής. Το μοντέλο του Bohr είναι λανθασμένο στις λεπτομέρειες (το πραγματικό άτομο υδρογόνου περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger, με νέφη πιθανότητας αντί για τροχιές), αλλά είναι αρκετά σωστό ώστε να προβλέπει ακριβώς το φάσμα του υδρογόνου και να αποτελεί τη γέφυρα από την κλασική στην κβαντική σκέψη.
Συνηθισμένες παρανοήσεις
- Η διαστολή του χρόνου είναι «απλώς οπτική». Ο διεσταλμένος χρόνος είναι φυσικός, όχι φαινομενικός. Ένας μιόνιο που δημιουργείται από κοσμικές ακτίνες ψηλά στην ατμόσφαιρα ζει αρκετά (στο σύστημα αναφοράς της Γης) ώστε να φτάσει στο έδαφος, επειδή το υψηλό γ επεκτείνει τη διάρκεια ζωής του κατά τον παράγοντα αυτόν. Το ίδιο το μιόνιο βλέπει την ατμόσφαιρα συσπειρωμένη, με την ίδια φυσική — και οι δύο απόψεις συμφωνούν για το τι φτάνει στο έδαφος.
- Το E = mc² μετατρέπει τη μάζα σε ενέργεια. Η μάζα δεν «γίνεται» ενέργεια· είναι ενέργεια. Η εξίσωση λέει ότι η μάζα και η ενέργεια είναι το ίδιο μέγεθος μετρημένο σε διαφορετικές μονάδες. Ένας πυρήνας ελαφρύτερος από τα συστατικά του κατά Δm έχει απελευθερώσει Δm·c² ενέργειας σύνδεσης· η ενέργεια υπήρχε πάντα, απλώς δεν ήταν υπό μορφή μάζας.
- Το φως είναι «είτε κύμα είτε σωματίδιο». Ούτε το ένα μόνο. Το φως συμπεριφέρεται ως κύμα στις συμβολές και ως σωματίδιο (φωτόνιο) στην εκπομπή και την απορρόφηση. Οι δύο περιγραφές είναι συμπληρωματικές, όχι αντιφατικές.
- Η σχετικιστική μάζα αυξάνεται με την ταχύτητα. Η σύγχρονη χρήση έχει εγκαταλείψει την έννοια: μόνο η μάζα ηρεμίας m0 είναι «μάζα». Η ολική ενέργεια αυξάνεται με το γ (E = γm0c²), αλλά το να ονομάζεται αυτό «σχετικιστική μάζα» συσκοτίζει τη γεωμετρία του 4-ορμή και δεν είναι πια τυπικό.
Σχετικά εργαλεία: Κυκλώματα για το κλασικό ηλεκτρικό υπόβαθρο, Θερμοδυναμική για τη στατιστική μηχανική και το θεώρημα ισοκατανομής, και Αναφορά σταθερών για τις τιμές κάθε σταθεράς που χρησιμοποιείται εδώ.
