Δύο νόμοι διατήρησης κάνουν τη βαριά δουλειά: η διατήρηση της μάζας δίνει τη συνέχεια (Q = A·v, A1v1 = A2v2), η διατήρηση της ενέργειας κατά μήκος γραμμής ροής δίνει τον Bernoulli (P + ½ρv² + ρgh = σταθερά). Όλα τα άλλα — άνωση, υδροστατική πίεση, οπισθέλκουσα — είναι ειδική περίπτωση ή συνέπεια.
Άνωση του Αρχιμήδη — εκτοπισμένο βάρος
Κάθε σώμα βυθισμένο σε ρευστό δέχεται προς τα πάνω δύναμη ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει: Fb = ρ·V·g, όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, V ο εκτοπισμένος όγκος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Το προεπιλεγμένο δείγμα (ρ = 1000 kg/m³ γλυκό νερό, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) δίνει Fb ≈ 98,1 N — το βάρος 10 kg νερού. Γι' αυτό ακριβώς ένα μπλοκ ξύλου 10 kg (πυκνότητα 700 kg/m³) μένει μισοβυθισμένο: το μισό του όγκου εκτοπίζει το μισό του βάρους του. Ένα αντικείμενο επιπλέει όταν η μέση πυκνότητά του είναι μικρότερη από του ρευστού· βυθίζεται όταν είναι μεγαλύτερη· αιωρείται όταν είναι ακριβώς ίση. Για αέρια η ίδια σχέση ισχύει με ρ περίπου 1,2 kg/m³ στη στάθμη της θάλασσας, γι' αυτό ένα μπαλόνι ηλίου ανυψώνει μόνο περίπου 1 gram ανά λίτρο — η αντίθεση πυκνότητας είναι μικρή.
Υδροστατική πίεση — βάρος της στήλης
Σε ένα στατικό ρευστό η πίεση αυξάνεται γραμμικά με το βάθος: P = P0 + ρg·h, όπου P0 είναι η πίεση στην επιφάνεια (ατμοσφαιρική, 101 325 Pa στη στάθμη της θάλασσας). Το προεπιλεγμένο δείγμα (20 m γλυκού νερού) δίνει μανομετρική πίεση ρg·h = 196 200 Pa και ολική πίεση 297 525 Pa (περίπου 2,94 atm, 2,98 bar). Η πίεση εξαρτάται μόνο από το βάθος και την πυκνότητα του ρευστού, όχι από το σχήμα του δοχείου — το «υδροστατικό παράδοξο» — επειδή κάθε στοιχείο ρευστού σε βάθος h έχει από πάνω του την ίδια στήλη βάρους. Αρχή του Pascal: μια μεταβολή πίεσης που ασκείται σε κλειστό ρευστό μεταδίδεται αμείωτη σε κάθε σημείο, γι' αυτό τα υδραυλικά ανυψωτικά πολλαπλασιάζουν τη δύναμη: μια μικρή δύναμη σε μικρό έμβολο δημιουργεί την ίδια πίεση που σηκώνει ένα μεγάλο έμβολο με αναλογικά μεγάλη δύναμη.
Bernoulli — ενέργεια κατά μήκος γραμμής ροής
Για μόνιμη, ασυμπίεστη, μη ιξώδη ροή, η ενέργεια ανά μονάδα όγκου διατηρείται κατά μήκος κάθε γραμμής ροής: P + ½ρv² + ρgh = σταθερά. Το προεπιλεγμένο δείγμα ξεκινά από ατμοσφαιρική πίεση, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, και καταλήγει σε v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — ο πίνακας επιστρέφει P2 ≈ 144 375 Pa με σταθερά περίπου 201 425 Pa. Η πτώση του ύψους προσθέτει δυναμική πίεση· η αύξηση της ταχύτητας αφαιρεί στατική πίεση. Αυτή είναι η αρχή λειτουργίας του βεντουρί (στένωση στον σωλήνα επιταχύνει τη ροή και μειώνει την πίεση), του καρμπυρατέρ (στένωση στον αεραγωγό μειώνει την πίεση και τραβά καύσιμο), της πτέρυγας αεροπλάνου (η άνω επιφάνεια επιταχύνει τον αέρα, μειώνει την πίεση και ανυψώνει την πτέρυγα) και του σωλήνα Pitot (η διαφορά πίεσης μετρά την ταχύτητα). Ο Bernoulli αποτυγχάνει όπου η ροή δεν είναι μόνιμη, ασυμπίεστη ή μη ιξώδης — ιδιαίτερα σε υψηλούς αριθμούς Reynolds, όπου η τύρβη κάνει την πίεση θορυβώδη και ο τύπος υπολογίζει μέσο όρο στον χρόνο. Η άνωση ενός αεροτομή είναι κυρίως ο τρίτος νόμος του Newton — εκτροπή της ροής του αέρα προς τα κάτω — με τη διαφορά πίεσης του Bernoulli ως λογιστική, όχι ως αιτία.
Ρυθμός ροής — πόσο ανά δευτερόλεπτο
Η ογκομετρική παροχή είναι Q = A·v, όπου A η διατομή και v η μέση ταχύτητα. Το προεπιλεγμένο δείγμα (A = 0,05 m², v = 3 m/s) δίνει Q = 0,15 m³/s = 150 L/s, ή 9 m³ ανά λεπτό. Για ασυμπίεστη ροή μέσα σε μεταβλητό σωλήνα, η διατήρηση της μάζας επιβάλλει A1·v1 = A2·v2: η υποδιπλάσια διατομή διπλασιάζει την ταχύτητα. Γι' αυτό ένα λάστιχο ποτίσματος με τον αντίχειρα πάνω στην άκρη πετάει νερό μακρύτερα, και γι' αυτό η στένωση ενός ποταμού στα ορμητικά δημιουργεί λευκά νερά. Ο κανόνας της συνέχειας ισχύει τοπικά σε κάθε στιγμή· η ταχύτητα δεν «θυμάται» προηγούμενες διατομές. Για συμπιεστή ροή (αγωγοί αερίων, κινητήρες τζετ) το σωστό αναλλοίωτο είναι ο ρυθμός μαζικής ροής ρA·v, που είναι σταθερός όταν δεν προστίθεται ή αφαιρείται ρευστό.
Οπισθέλκουσα του Stokes — το στρωτό άκρο της αντίστασης ρευστού
Για σφαίρα ακτίνας r που κινείται με χαμηλή ταχύτητα σε ρευστό ιξώδους μ, η δύναμη οπισθέλκουσας είναι Fd = 6πμr·v. Το προεπιλεγμένο δείγμα (μ = 0,001 Pa·s νερό, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) δίνει Fd ≈ 9,42×10−5 N (περίπου 94 μN). Η σχέση είναι γραμμική ως προς v επειδή σε χαμηλό αριθμό Reynolds το ίχνος είναι συμμετρικό και κυριαρχεί το ιξώδες· το έργο που παράγει η σφαίρα ενάντια στην οπισθέλκουσα μετατρέπεται σε ιξώδη θέρμανση του ρευστού. Η οπισθέλκουσα Stokes ισχύει μόνο όταν Re < 1 — για σφαίρα 1 cm στο νερό αυτό σημαίνει ταχύτητες κάτω από περίπου 10−4 m/s. Σε μεγαλύτερες ταχύτητες ο συντελεστής οπισθέλκουσας γίνεται περίπου σταθερός και η δύναμη κλιμακώνεται ως v² αντί για v. Η οπισθέλκουσα Stokes ελέγχει την καθίζηση της σκόνης στον αέρα, την κολύμβηση των βακτηρίων και την πτώση λεπτής ιζηματογένεσης στο νερό.
Αριθμός Reynolds — τάξη έναντι χάους
Ο αδιάστατος λόγος Re = ρvL/μ συγκρίνει τις αδρανειακές δυνάμεις με τις ιξώδεις. Το προεπιλεγμένο δείγμα (νερό, v = 1 m/s, L = 0,1 m) δίνει Re ≈ 100 000, καθαρά στο τυρβώδες καθεστώς. Εμπειρικά: Re < ~2 000 σημαίνει στρωτή ροή (ομαλές, προβλέψιμες, παράλληλες γραμμές ροής)· Re > ~4 000 σημαίνει τυρβώδη (χαοτική, ανάμειξη, δίνες)· η στενή ζώνη ανάμεσα είναι μεταβατική. Η ροή αίματος στην αορτή (Re ~ 4 000) βρίσκεται στο όριο· στα τριχοειδή (Re ~ 0,001) είναι σταθερά στρωτή και ισχύει η οπισθέλκουσα Stokes. Ο αέρας πάνω από μια πτέρυγα αεροπλάνου είναι σκόπιμα τυρβώδης ώστε να καθυστερεί τον αποχωρισμό της ροής. Ο αριθμός Reynolds είναι ο λόγος που οι σωλήνες έχουν «κρίσιμη ταχύτητα» πάνω από την οποία το κόστος άντλησης εκτοξεύεται, και ο λόγος που ο καπνός ενός κεριού ανεβαίνει ως ομαλός στρωτός πίδακας για λίγα εκατοστά πριν διασπαστεί σε χαοτικές σπείρες.
Συνηθισμένες παρανοήσεις
- Η δύναμη του Αρχιμήδη προέρχεται από το κάτω μέρος που σπρώχνει προς τα πάνω. Προέρχεται από το ολοκλήρωμα της πίεσης σε ολόκληρη τη βρεγμένη επιφάνεια. Η πίεση είναι μεγαλύτερη στον πυθμένα, αλλά και οι πλευρικές συνεισφορές είναι μη μηδενικές, και η καθαρή τιμή είναι ακριβώς το βάρος του εκτοπισμένου ρευστού — γι' αυτό η γεωμετρία του δοχείου δεν αλλάζει την απάντηση.
- Τα φτερά αεροπλάνων ανυψώνονται επειδή η άνω επιφάνεια είναι μακρύτερη και ο αέρας «πρέπει να προλάβει». Η άνωση προέρχεται από διαφορά πίεσης που δημιουργείται από την κυκλοφορία και το σχήμα του φτερού· ο ίσος χρόνος διέλευσης είναι λαϊκή παραγωγή που τυχαίνει να δίνει τη σωστή αριθμητική απάντηση για λάθος λόγο. Για φτερά χαμηλής ταχύτητας ο κυρίαρχος μηχανισμός είναι η κατανομή της πίεσης, όχι κάποια «επιτάχυνση πάνω από την επιφάνεια».
- Ο νόμος του Stokes ισχύει σε κάθε ταχύτητα. Μόνο όταν Re < 1. Μια χαλύβδινη σφαίρα 1 cm που πέφτει στο νερό φτάνει Re = 1 σε λίγα δέκατα του χιλιοστού ανά δευτερόλεπτο· πάνω από αυτό το όριο το ίχνος γίνεται ασύμμετρο και η οπισθέλκουσα αυξάνεται προς τη συμπεριφορά v². Ο Stokes υποεκτιμά την οπισθέλκουσα για οτιδήποτε μοιάζει με μάρμαρο.
- Η πίεση ασκείται πάντα προς τα έξω από το ρευστό. Σε ένα στατικό ρευστό η πίεση είναι ισότροπη: σπρώχνει εξίσου προς κάθε κατεύθυνση. Η «ώθηση από κάτω» σε μια βυθισμένη επιφάνεια είναι απλώς η προς τα κάτω συνιστώσα της ίδιας πίεσης που σπρώχνει πλευρικά και προς τα πάνω σε κάθε τετραγωνικό εκατοστό.
Σχετικά εργαλεία: Μηχανική για δύναμη, έργο και ενέργεια, Θερμοδυναμική για συμπιεστή ροή και δυναμική αερίων, και Μετατροπέας μονάδων για αλλαγή μεταξύ Pa, bar, atm και psi.
