Csillagászati számológép

A csillagászat a fizikának az a része, amely a gravitációt és a mozgást használja működési nyelvként a holdtól a galaxisig terjedő minden esetben. Ennek a panelnek a hat számológépe hat visszatérő kérdésre ad választ, amelyet bármely égitestről vagy pályáról fel lehet tenni: milyen gyorsan kell valamit kilőni, hogy elhagyja a rendszert? Milyen gyorsan kell körbekeringeni? Mennyi ideig tart egy keringés? Mekkorára kellene összeroppantani ugyanezt a tömeget, hogy fekete lyuk legyen belőle? Mennyi delta-v-t nyer egy rakéta az üzemanyag-töredékenként? És milyen messze van az a galaxis, amelynek fénye vöröseltolódást mutat? Minden más — a parallaxissal mért távolságok a Föld pályájának egy csillagászati egységnyi (CsE = 1,496×10¹¹ m) alapvonalához viszonyítva, a fényességek logaritmikus rangsorként, a vöröseltolódás z ≈ v/c mint a Hubble-törvény kis sebességű változata — ugyanazon a newtoni és relativisztikus vázon nyugszik.

Minden M tömegű és R sugarú test egységnyi tömegre vetített G M/R mélységű potenciálgödröt képez. A felszínről való kikerüléshez legalább ekkora mozgási energia kell, ez adja a szökési sebességet. A Földdel számolva: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — a panel v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, kb. Mach 33) értéket ad. A Mars ≈ 5,03 km/s, a Hold 2,38 km/s, a Jupiter 60 km/s (ahol a hidrogén rossz rakétahajtóanyag, de a matematika ugyanaz), a Nap pedig 618 km/s. Megjegyzés: a képlet nem számol légellenállással és további hajtással; bármely rakéta valódi értékébe beletartoznak az aerodinamikai veszteségek, az emelkedés közbeni gravitációs veszteség és a kormányzási veszteségek. Ez a felszíni nyugalmi sebesség is; egy már pályán lévő objektumnak kisebb Δv kell a magasságából való szökéshez, sosem a teljes felszíni értéket. Ugyanez a skálázás adja a felszíni súlyt: a Marson (g = 3,71 m/s²) egy 70 kg-os űrhajós 260 N súlyú — a tömeg nem változik, a súly a helyi gravitációt követi.

A stabil körpálya egyensúlyban tartja a centripetális gyorsulást és a gravitációt: v_o = √(GM/r). A panel alapértelmezett Föld-beállítása r = 7×10⁶ m-nél (kb. 629 km magasság — az ISS vidéke) v_o ≈ 7546 m/s sebességet és 5829 s (~1,62 óra) periódust ad. A valódi ISS ~408 km-en van és ~92,7 perc alatt kering; a panel magassága szemléltető szám, nem repülési menetrend. A reláció a szökési sebességet is adja: v_o √2-szeresével kapjuk ugyanazon magasságban a v_e-t. A keringési sebesség független a keringő tömegtől; egy toll és egy csatahajó azonos pályán (vákuumban) azonos sebességgel mozog, ezért kezeli a keringési mechanika a műholdakat pontszerű részecskékként.

T² = (4π²/GM) · a³ köti össze a keringési periódust a fél-nagytengellyel. A panel Nap–Föld alapértéke (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = definíció szerint 1 CsE) T ≈ 365,21 nap értéket ad, éppen az évünk hosszát. Fordítva megoldva — ha adott a periódus másodpercben, a-t kiszámítani — így mérik a csillagászok bármely műhold fél-nagytengelyét, amelynek periódusát meg tudják mérni. Ugyanez az 1 CsE-s alapvonal a parsec definíciója is: az a csillag, amely 1 ívmásodpercnyi parallaxis-eltolódást mutat, miközben a Föld 2 CsE-t tesz meg, pontosan 1 parszek = 3,26 fényévre van — és 1 parszek = 206 265 CsE. A kilométerek és fényévek a csillagközi léptékben kezelhetetlenek; a parszek és a CsE a munkaegységek.

Ha az M tömeget a Schwarzschild-sugara, R_s = 2GM/c² alá nyomjuk össze, a belülről érkező jel nem tud kijutni: ez egy nem forgó fekete lyuk horizontja. A számok a hétköznapi tömegeknél meglepően kicsik: a Föld R_s-e kb. 8,87 mm — kisebb egy golyónál; a Napé kb. 2,95 km. Bármelyiket összenyomni olyan sűrűség kellene, amelyet egyetlen ismert anyagállapot sem ad. A valódi fekete lyukak csillagok halálakor keletkeznek; egy 5 M_⊙-es maradványnál a 14,76 km (a panel „kis FL” beállítása) a Cygnus X-1-szerű objektumok helyes nagyságrendje, míg a galaxisunk középpontjában lévő, 4×10⁶ M_⊙-es szupermasszív fekete lyuk, a Sagittarius A*, R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (kb. a Merkúr pályájának 17%-a). A Schwarzschild-sugár az általános relativitáselmélet koordinátás előrejelzése; egy forgó (Kerr) fekete lyuk valódi horizontja más, és kisebb is lehet.

Egy hátrafelé v_e sebességgel kiáramló kipufogóval hajtott rakéta impulzusmegmaradása, tömegarány m₀/m_f mellett: Δv = v_e · ln(m₀/m_f). A panel betölthető mintája (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) 10-es tömegarány és 90%-os üzemanyag-arány mellett Δv ≈ 6907,76 m/s. Az egyenlet könyörtelenül logaritmikus: az üzemanyag megduplázása v_e·ln(2) többlet Δv-t ad, sosem duplázza meg. Az alacsony Föld-körüli pályához összesen kb. 9,4 km/s Δv kell; a geostacionárius átviteli pályához kb. 11,5 km/s; a holdpályához kb. 12,5 km/s — ezért lépcsőznek a rakéták, ezért kicsik a felső fokozatok a kilövési tömeg töredékeként, és ezért marad makacsul nehéz az egylépcsős pályára juttatás.

Edwin Hubble 1929-es megfigyelése, hogy a galaxisok a távolsággal arányos sebességgel távolodnak, d = v/H₀ összefüggést ad. A panel H₀ = 70 km/s/Mpc értékével egy v = 1000 km/s sebességgel távolodó galaxis d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ fényév távolságra van. A közeli galaxisoknál a visszahúzódási sebesség a c-nek kis töredéke, így z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; a lineáris Hubble-törvény ekkor a tágulló világegyetem kozmológiai visszahúzódásának speciális esete. Az összefüggés nagy vöröseltolódásnál (z > 0,1) megtörik, ahol a teljes kozmológiai modell veszi át a szerepet; ezért figyelmeztet az információs doboz, hogy a képlet „viszonylag közeli” galaxisokra érvényes — ugyanez a fenntartás vonatkozik a v_e vagy v_o használatára a fénysebesség közelében (a relativisztikus korrekciók számítanak). A Hubble-távolsági létra — parallaxistól a cefeidákon és az Ia típusú szupernóvákon át a Hubble-áramlásig — a H₀-t kalibrálja, és a helyi és a KMH-ből (CMB) következtetett értékek közötti jelenlegi H₀-feszültség a kozmológia egyik nyitott kérdése.

• A szökési sebesség a földről induló sebesség. Ez az a sebesség, amellyel adott sugárnál nyugalmi helyzetből, további hajtás nélkül el lehet szökni; egy rakéta, amely órákon át állandó kis tolóerővel emelkedik, nem kell, hogy bármelyik pillanatban elérje a v_e-t.
• A fekete lyukak úgy szívják be a dolgokat, mint a porszívók. A horizont sugarát a központi tömeg határozza meg, nem a „húzott” objektum. Az R_s-nél jóval nagyobb r-nél a gravitáció egyszerűen Newton-féle; csak az eseményhorizont közelében válik visszafordíthatatlanná. A Nap, ha azonos tömegű fekete lyuk lenne, egyáltalán nem változtatná meg a Föld pályáját.
• Több üzemanyag arányosan több Δv-t jelent. A Ciolkovszkij-egyenlet logaritmikus: az üzemanyag megduplázása v_e·ln(2)-vel növeli a Δv-t, nem duplázza meg. Ez a rakétatechnika legfontosabb egyetlen száma.
• A parallaxis a csillagok méretét méri. A parallaxis a távolságot méri ugyanazzal a geometriai háromszögeléssel, amelyet a geodéták használnak — minél nagyobb az alapvonal, annál távolabbi a tartomány. A Föld éves pályájából adódó 2 CsE-s alapvonal természetes egységgé teszi a parszeket.

Kapcsolódó eszközök: a Mechanika az alapul szolgáló kinematikához, a Modern fizika a nagy sebességnél fellépő relativisztikus hatásokhoz, a Számológép pedig a fenti képleteket futtató algebrai eszköztárhoz.