Három szorzat végez el mindent, amire szükség van: a skaláris szorzat (az egyirányúságot mérő skalár, A·B = |A||B|cosθ), a vektoriális szorzat (mindkét bemenetre merőleges vektor, nagysága |A||B|sinθ), és a vetítési operátor (A komponense egy választott irányban). Ezek könyvelik minden olyan fizikai képletet, amely egynél több vektort tartalmaz.
Nagyság és a 2D-s alapeset
A 3-4-5-ös derékszögű háromszög a 2D-s vektorok kanonikus példája. Legyen A = (3, 4). Nagysága |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Iránya a +x tengelytől arctan(4/3) ≈ 53,13°. Bármely 2D-s vektor felírható nagyság szorozva a rá mutató egységvektorral: A = 5·(0,6; 0,8). A felbontó panel nagyságot és θ, φ szögeket fogad, és az x, y, z komponenseket adja vissza vagy gömbi konvenció szerint (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ), vagy síkbeli szerint (φ figyelmen kívül hagyva, x = r cosθ, y = r sinθ). r = 10, θ = 36,87° esetén 2D módban (8, 6, 0)-t ad — a 6-8-10-es derékszögű háromszöget, az eredeti 3-4-5-ből skálázva. Ezeknek az egész számú háromszögeknek a felismerése a rövidítés arra, hogy trigonometria nélkül lássuk, mely komponensek merőlegesek.
Skaláris szorzat — a egyirányúság skaláris mértéke
Két A és B vektorra a skaláris szorzat A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) skalár, amely egyenlő |A||B|cosθ-val — azaz a nagyságok szorzata a köztük lévő szög koszinuszával. Az alapértelmezett 2D-s minta (A = (3, 4), B = (5, 2)) A·B = 15 + 8 = 23-at ad, a nagyságok |A| = 5 és |B| = √29 ≈ 5,385, a koszinusz pedig cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26.93 ≈ 0,854, így θ ≈ 31,33°. Három előjel-következmény hordozza az egész értelmezést: cosθ > 0 hegyesszöget jelent, a vektorok nagyjából azonos irányba mutatnak; cosθ < 0 tompaszöget, a vektorok ellentétesek; cosθ = 0 merőlegességet. A skaláris szorzat egy F erő munkája a d elmozduláson (W = F·d), és a koszinusz az oka, hogy szögben tolni kevésbé hatékony, mint a mozgás vonalában.
Vektoriális szorzat — mindkét bemenetre merőleges vektor
A vektoriális szorzat csak 3D-ben értelmezett művelet, eredménye mindkét bemenetre merőleges vektor, nagysága |A||B|sinθ, iránya a jobbkéz-szabállyal adódik (a mutatóujj A irányába, a középső ujj B irányába mutat, a hüvelykujj adja az A×B irányát). Komponensekben A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Az alapértelmezett 3D-s minta (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13)-at ad. A vektoriális szorzat antiszimmetrikus: B×A = −A×B, a bemenetek felcserélése megfordítja az előjelet. Három fizikai előfordulása: a forgatónyomaték τ = r×F (forgató erő), a perdület L = r×p (keringési perdület), és a mágneses erő F = qv×B mozgó töltésre. Az |A×B| nagyság a két vektor által kifeszített paralelogramma területével egyenlő, ezért a vektoriális szorzat eredményei mindig területet vagy forgást írnak le. A forgatónyomaték a vektoriális szorzat működésben: τ = r×F nagysága |r||F|sinθ, így a forgástengelyen átnyomva nulla, és hosszabb csavarkulcs több nyomatékot ad.
Vektorok közötti szög
Ha már megvan a skaláris szorzat és a nagyságok, a szög egy arkuszkoszinusz: cosθ = A·B/(|A||B|), θ a [0, π] tartományban. A nagyságokhoz képest kicsi skaláris szorzat közel merőleges vektorokat jelent; a skaláris szorzat |A||B|-vel egyenlő, a vektorok egy irányba mutatnak (θ = 0); a skaláris szorzat −|A||B|, ellentétesek (θ = π). A képlet 2D-ben és 3D-ben azonos — csak a komponensösszegek dimenziója különbözik. Geometriailag a skaláris szorzat úgy értelmezhető, mint A vetítése B-re (vagy B A-ra), szorozva a másik nagyságával, így a koszinusz szó szerint a vetítési arány.
Egységvektor és vetítés
Az egységvektor nagysága 1, és az eredetivel azonos irányba mutat: u = A / |A|. Az egységvektorokkal írható le a „tiszta irány”; a descartes-i koordináták i, j, k bázisvektorai a kanonikus példák, és a 3D-s bármely irány előáll ezek lineáris kombinációjaként. Az A vetülete B-re (vagy A komponense B mentén) projBA = (A·B / |B|²) · B — az A B mentén fekvő része. A skaláris változat (A·B/|B|) ennek a vetületnek az előjeles hossza. Ez teszi a skaláris szorzatot munkaképletté: az elmozdulás erő irányú komponense szorozva az erő nagyságával adja a végzett munkát.
Tévhitek
- A skaláris szorzat vektorok szorzása. Ez a skaláris szorzat — számot ad, nem vektort. Hasonlóan a vektoriális szorzat a vektoriális szorzat. Ha „szorzásnak” nevezzük őket, elfedjük, hogy teljesen eltérő a kimenetük.
- A vektoriális szorzat skalár. 2D-ben a merőleges komponenst néha skalárnak nevezik (az axby − aybx determináns), de 3D-ben a vektoriális szorzat valóban vektor. Nagysága és iránya is fizikailag értelmes.
- A vektoriális szorzat kommutatív. Antikommutatív: A×B = −B×A. A sorrend számít — a forgatónyomaték r×F ellentétes irányú, mint F×r.
- A vektornak rögzített helye van. A vektorok szabadok — a lapon szabadon eltolhatók anélkül, hogy megváltoznának. Rögzített a nagyságuk és az irányuk; csak a fizikában bizonyos vektorok (helyzetvektorok, az elektromos tér egy pontban) kötődnek helyhez.
Kapcsolódó eszközök: a Mechanika a forgatónyomatékhoz, munkához és perdülethez a kontextusban, a Forgásdinamika annak bemutatására, hogyan építi fel a vektoriális szorzat a perdületet, a Áramkörök pedig a mágneses F = qv×B erőre.
