Fizikai szimulációk

Interaktív fizikai szimulációk valós idejű vászonanimációval. Tartalmazza a ferde hajítást, az egyszerű és kettős ingát, a hullámintereferenciát, az elektromos térvonalakat és az erővektorok összetételét. További eszközök: Mechanika | Vektorszámológép | Hullámok.
Ferde hajítás: Pálya valós idejű repüléssel. x(t)=v0·cosθ·t, y(t)=h0+v0·sinθ·t-½gt². Hatótávolság R=v0²sin(2θ)/g (h0=0). Maximális magasság H=h0+v0²sin²θ/(2g).
Mik ezek a fizikai szimulációk?

Öt valós idejű vászonanimáció mutatja, hogyan néznek ki a fizikai egyenletek mozgás közben: egy gravitáció alatt mozgó labda pályája, egyetlen inga lengése és a kettős inga kaotikus tánca, két körhullám interferenciamintája, ponttöltések körüli térvonalak, valamint három erő sokszögös összetétele. A matematika azonos az oldal többi képletével; a vászon megmutatja, hogyan néz ki a megoldás időben és térben. Minden panel néhány bemenetet vesz fel, és vagy numerikus kijelzést (ferde hajítás, erőösszetétel, elektromos tér), vagy vizuálisat (inga, hullámintereferencia) ad. Együtt egy kis laboratóriumot alkotnak a böngészőben, ahol paramétert változtatva azonnal követhető az eredmény.

A szimulációk az egyenleteket láthatóvá teszik: ugyanaz az algebra, ugyanazok az állandók, ugyanazok a peremfeltételek — animációként megjelenítve, amely lehetővé teszi a paraméterek változtatását és az eredmény változásának követését. Ezek a szemléletet építik: a kilövési szög változtatásával látható, hogy a hatótávolság 45°-nál tetőzik; a töltés előjelének megváltoztatásával a térvonalak megfordulnak; a hullámhossz változtatásával az interferenciaminta összehúzódik vagy szétterül.
Ferde hajítás — a klasszikus parabola

Az v0 kezdősebességgel, θ szögben, h0 magasságból indított labda a x(t) = v0 cosθ · t és y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t² paraméteres egyenleteket követi. A vászon a labda repülése közben rajzolja a pályát, és jelenti a végső hatótávolságot, a repülési időt és a maximális magasságot. Az alapértelmezett minta (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, Föld g = 9,81 m/s²) repülési idő ≈ 3,604 s-ot, hatótávolság ≈ 63,70 m-t és maximális magasság ≈ 15,929 m-t ad. A Hold-beállításra (g = 1,62) váltva ugyanez az indítás ≈ 385,8 m-t ér el ≈ 21,82 s alatt — ugyanaz a parabola, hatszor hosszabb és messzebb, éppen ettől olyan abszurd a holdi sport, és ezt használta ki Alan Shepard az improvizált hatos vasával. A vászon egy piros pont követésével újrarajzolja az utat, és közvetlenül a diagramon jelöli a hatótávolságot és a maximális magasságot.

Inga — harmonikus és kaotikus

Egy L hosszúságú egyszerű inga, amelyet θ szögből engedünk el, a θ″(t) = −(g/L) sinθ egyenletet követi, itt félimplicit Euler-módszerrel integrálva. Kis kitérésnél (sinθ ≈ θ) a mozgás harmonikus rezgés, periódusa T = 2π√(L/g); az alapértelmezett L = 1,5 m a Földön T ≈ 2,458 s-ot ad. Nagyobb kitéréseknél a periódus kissé nő, mert a sinθ már nem jó lineáris közelítés — egy 60°-os lengés kb. 7%-kal lassabb, mint ugyanakkora hosszúságú inga 5°-os lengése. A kettős inga más szörnyeteg: két merev szárból és a csuklóknál lévő tömegekből áll, csatolt nemlineáris egyenletek szerint, ugyanúgy integrálva, de kaoszt mutatva. A kezdeti szög parányi különbsége néhány ciklus alatt vadul eltérő pályákhoz vezet — a determinisztikus káosz jellegzetessége, ezért a kettős inga a kaotikus mechanikai rendszer tankönyvi példája. A legördülő menüben a „Egyszerű” és „Kettős” között váltva megjelenik a második szár, amelynek kezdeti szöge θ2; a Start gombbal indítható, és figyelhető, hogy a lengésminta kiszámíthatatlanul szétválik. Az egyszerű inga szimuláció minden képkockát is csillapít (0,9995-ös tényezővel), ahogy a valódi inga a légellenállásnak és a csapágysúrlódásnak veszíti energiáját.

Hulláminterferencia — két forrás szuperpozíciója

Két pontforrás azonos λ hullámhosszú körhullámokat bocsát ki; a síkon minden pontban az eredő zavar a két hullám összege. Ahol a két gerinc fázisban érkezik, az amplitúdó megduplázódik (erősítő interferencia); ahol az egyik gerinc a másik hasával találkozik, kioltják egymást (gyengítő interferencia). Az erősítő interferencia feltétele r1 − r2 = mλ egész m-re; a gyengítőé r1 − r2 = (m + ½)λ. A vászon intenzitástérképet fest (fényes = nagy amplitúdó, sötét = kioltás), és ráhelyezi a csomóvonalakat, ahol r1 − r2 = mλ (szaggatott vonalas opcióval). Az alapértelmezett távolság (120 px = 3λ) világos és sötét sávokat mutat váltakozva a merőleges felezőmentén — ugyanez a minta adja Thomas Young kettős rés kísérletének világos és sötét csíkjait, és ez hozza létre az olajfilmről visszaverődő fény színes sávjait.

Elektromos térvonalak — a sűrűség az erősséget kódolja

Egy Q pontöltés körüli elektromos tér radiális vektor, nagysága E = kQ/r²; két töltés esetén a tér bármely pontban a vektorösszeg Eösszes = E1 + E2. A vászon a forrás környékéről 16 térvonalat húz egy 4 px-es Euler-lépésnél, a helyi tér irányában. A vonalak a pozitív töltésekből (Q > 0) indulnak és a negatívokban (Q < 0) végződnek; az alapértelmezett mintában (Q1 = +5, Q2 = −3, |Q1·Q2| = 15) a vonalak a bal oldali piros + töltésből indulnak, kifelé görbülnek, és többségük a jobb oldali kék − töltésnél végződik, néhány pedig a végtelenbe szökik (mert a nagyságok nem egyenlőek). A térvonal-sűrűség arányos a térerősséggel: a szorosan álló vonalak erős teret, a ritkák gyengét jeleznek. Mindkét előjel megfordítása a vonalak irányát fordítja meg, a geometria változása nélkül.

Erőösszetétel — a sokszög-módszer

Amikor több erő hat egy testre, az eredő nem az erők skalár összege, hanem vektoros összeg. A sokszög-módszer (vagy fej–farok módszer) minden erővektort a kezdőponttól fej–farok elhelyezéssel vesz fel; az eredő R a kezdőpontból a végső csúcsba mutató vektor. Komponensenként: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²), és θR = arctan(Ry/Rx). A vászon minden erőt színes nyílként rajzol a kezdőpontból (F1 piros, F2 kék, F3 zöld), majd szaggatott lila vonallal a kezdőponttól a végső csúcsig mutatja az eredőt, plusz világosszürke sokszögvonalakkal követi a fej–farok útvonalat. Az alapértelmezett minta (F1 = 30 N 0°-nál, F2 = 25 N 60°-nál, F3 = 15 N 150°-nál) Rx ≈ 29,51 N, Ry ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N és θR ≈ 44,65° értéket ad — nagyobb, mint bármelyik bemeneti erő, mert az irányok részben erősítik egymást.

Gyakori tévhitek
  • A vászon a valódi fizikát mutatja, nem vázlatot. Minden képkockát az alapul szolgáló egyenletből számítanak (ingáknál Euler-integrálás, hullámoknál szuperpozíció, erőknél vektorösszeg). A bemenetek megváltoztatásával a matematika változik; az animáció közvetlen numerikus megjelenítés.
  • Az inga periódusa függ a kitéréstől. Kis kitérésnél (kb. 15°-nál kisebb) a periódus szinte független a kitéréstől, és T = 2π√(L/g). Nagyobb kitérésnél a periódus érezhetően nő — egy 90°-os lengés kb. 18%-kal tovább tart, mint a kis szögre szóló képlet jósolja. Az ütőórák „másodperces ingája” kis lengésre készült pontosan azért, hogy periódusa szikla-szilárd maradjon.
  • Az elektromos térvonalak valóságosak. A tér megjelenítései, nem fizikai zsinórok. A tényleges elektromos tér minden térbeli pontban vektor; a vonalak csak összekötik azokat a pontokat, ahol a tér folytonosan érintőleges. Térvonalat „megfogni” nem lehet.
  • A sokszög- és a paralelogramma-módszer más válaszokat ad. Ugyanazt az eredőt adják. A paralelogramma-módszer két erőre működik; a sokszög-módszer természetesen bármennyi erőre kiterjeszthető. Mindkettő a vektorösszeadás egyenértékű alkalmazása.

Kapcsolódó eszközök: a Mechanika a numerikus kinematikai képletekhez, a Vektorszámológép a komponensekre bontáshoz és a skaláris/vektoriális szorzathoz, a Hullámok & rezgések a teljes haladóhullám-egyenletekhez, az Elektromosság & áramkörök az áram/feszültség megfelelőkhöz, az Optika & fény pedig a hullámintereferencia optikai változatához (Young-féle kettős rés).