Minden mérés egy szám őszinte kísérővel: mennyire lehetünk biztosak benne? Ez a kísérő két részből áll — a véletlen hibából, amelyet a mérés ismétlése átlagol ki, és a szisztematikus hibából, amely a torzítás, és amely bármennyi mérésnél megmarad. Bármely mennyiség őszinte közlése ezért x ± u(x), ahol u jól definiált bizonytalanság; a ± jel rövidítés arra, hogy „nagyjából ebben a tartományban, ekkora valószínűséggel”. A panel négy számológépe a munkaeszközöket fedi le: az értékes jegyek számlálását (a nyilvántartás rövidítése), a bizonytalanságok terjedését összegekben, különbségekben, szorzatokban, hányadosokban és hatványokban (a hibák számítása), a szórást (mennyire szórt az adat), és az összetett bizonytalanságot több független komponensre GUM-stílusban.
Kétféle hiba, két ellentétes viselkedés: a véletlen hiba az N négyzetgyökével csökken (σ/√N), így az átlagolás mindig nyer; a szisztematikus hiba egyáltalán nem csökken, ezért a kalibrálás fontosabb az ismétlésnél. Egy mérésnek lehet parányi σ-ja, és mégis hibás lehet torzítás miatt.
Értékes jegyek — a nyilvántartás rövidítése
Az értékes jegy olyan számjegy, amelyet bizonyossággal ismerünk; a számot egy méretkonvencióra kitöltő nullák nem azok. Öt szabály: (1) minden nem nulla számjegy értékes, (2) a nemnullák közötti nullák értékesek, (3) a vezető nullák nem értékesek (csak a tizedesvesszőt helyezik el), (4) a tizedesvessző utáni záró nullák értékesek, (5) a tizedesvessző nélküli záró nullák kétértelműek (tudományos jelölést kell használni). Az alapértelmezett 0,0070800 érték ezért 5 értékes jegyet tartalmaz (7, 0, 8, 0, 0), és (7,0800 ± 0,00005)×10−3-ként olvasható. A 0,0070800 közlése ugyanazt a pontosságot jelenti, mint a 7,0800×10−3 közlése; a 0,00708 közlése ezerszer kisebb pontosságot. A rövidítés tankönyvi közléseknél működik; valódi mérésnél az őszinte szám az u bizonytalanság, az értékes jegyek pedig kényelmes módjai ennek kifejezésére a ± minden alkalommal való kiírása nélkül.
Hibaterjedés — a hibák számítása
Egy z = f(x, y) függvényre a független bizonytalanságok összevonásának szabálya σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². A négy alapműveletre ez így egyszerűsödik: az összeadás/kivonás az abszolút hibákat négyzetesen összegzi, σz = √(σx² + σy²); a szorzás/osztás a relatív hibákat négyzetesen összegzi, σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); a hatvány xn a relatív hibát |n|-nel skálázza: σz/z = |n|σx/x. Az alapértelmezett minta (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, összeadás) z = 15-öt és σz ≈ 0,36-ot ad, azaz 15,00 ± 0,36 (kb. 2,4% relatív). Ugyanezekkel a bemenetekkel szorzásra váltva z = 50 ± 2,5 (5% relatív) adódik — ugyanazok a ± értékek, nagyon eltérő terjedési szabály, és a szorzat relatív bizonytalansága egyenlő a relatív bizonytalanságok négyzetes összegével. Összegeknél és különbségeknél az abszolút, szorzatoknál és hányadosoknál a relatív bizonytalanság a megfelelő mérőszám.
Szórás — az adatok szóródása
A σ szórás az átlagtól mért négyzetes középeltérés. Két változat létezik, az adatok természetétől függően: a sokasági σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) egy ismert halmaz minden tagjának szóródását írja le; a minta s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) a nagyobb sokaság szóródását becsli, amelyből a mintát vették. Az alapértelmezett minta (10 érték 12,2 és 12,8 között, átlaguk 12,5) sokasági σ ≈ 0,1732-t, minta s ≈ 0,1826-ot és SEM = s/√N ≈ 0,0577-et ad. Magának az átlagnak a bizonytalansága σ/√N (mintaváltozatnál s/√N), ezért csökkenti 25 mérés átlagolása egy mennyiség bizonytalanságát ötszörösére az egyedi méréshez képest. A szórás a konfidenciaintervallumokat is táplálja: normális eloszlásnál a ±1σ a 68,3%-ot, a ±2σ 95,5%-ot, a ±3σ 99,7%-ot tartalmaz.
Kiterjesztett bizonytalanság — minden forrás összevonása
Ha egy mérésnek több független hibaforrása van (műszer felbontása, kalibrálás, ismételhetőség, hőmérsékleti sodródás, kezelői hatás), a GUM-stílusú összetett bizonytalanság uc = √(Σui²). A forrásokat A típusúakra (statisztikai, adatokból) és B típusúakra (minden más, a bizonytalanságot ítélettel vagy gyártói specifikációval becsülve) osztályozzák; mindkettő azonos módon táplálja a uc-t. Egy lefedési tényező (k) ezután a kiválasztott konfidenciához skálázza az intervallumot: k = 1 a 68,3%-hoz, k = 2 a 95,5%-hoz, k = 2,58 a 99,0%-hoz, k = 3 a 99,7%-hoz. Az alapértelmezett minta (0,15; 0,08; 0,05; 0,03 mm források, k = 2) uc ≈ 0,1797 mm-t és U = k·uc ≈ 0,3595 mm-t ad 95,5%-on. Az eredményként közölt érték ezzel a konfidenciával (mérés ± 0,36) mm lesz. A GUM (ISO/IEC Guide 98-3) a nemzetközi szabvány az eljáráshoz. Az A típusú komponensek az ismételt leolvasások statisztikájából, a B típusúak a műszerspecifikációkból és ítéletből származnak — mindkettő ugyanazzal a négyzetes összeggel egyesül.
Gyakori tévhitek
- Több értékes jegy pontosabb mérést jelent. Csak akkor, ha ezek a jegyek valóban a mérésből származnak. A kézzel felírt „12,34567 m” hossz nem lesz tízmilliomod résznyi pontos — az értékes jegyek a pontosság közlésének eszközei, nem a pontosság kitalálásáé. A ± megadása őszintébb, mint kitalált számjegyekkel tölteni fel.
- A szisztematikus hiba átlagolással csökkenthető. Az ellenkezője igaz: a véletlen hibák 1/√N szerint átlagolódnak ki, de egy szisztematikus torzítás (egy rosszul kalibrált mérleg, egy eltolt nulla) minden mérésnél megmarad, bármennyi mérést is végez az ember. Azonosítani kell, és a torzítást nem átlagolással kell kezelni. Ez a csapda: „az adatok olyan reprodukálhatónak tűnnek!” egy hibás kísérletben.
- A szórás egyetlen mérés hibájáról szól. Az eloszlás szóródását jellemzi, nem egyetlen kísérlet hibáját. Az átlag standard hibája (s/√N) a releváns mennyiség, amikor arról számolunk be, mennyire ismerjük az x̄-t az N elemű mintából.
- A bizonytalanság mindig ± az utolsó számjegyben. A szokásos konvenció: „a bizonytalanságot egy (néha két) értékes jegyre kerekítjük, majd az értéket ehhez igazítjuk”. A 12,345678 ± 0,234 mérést 12,35 ± 0,23 alakban kell közölni, nem 12,345678 ± 0,234 alakban.
Kapcsolódó eszközök: a Statisztika az alapul szolgáló valószínűségi eloszlásokhoz, a Mechanika a számokat előállító kísérleti elrendezésekhez, és a Számológép a terjedés algebrájához.
