Mik a hullámok és a rezgések?
A rezgések és a hullámok ugyanaz az alapfizika, csak más jelmezben. Egy rezgés minden olyan mozgás, amely egyensúlyi helyzet körül oda-vissza ing — rugóra akasztott tömeg, ingatest, kondenzátoron eső feszültség, gitárhúr magassága, hangban a nyomás. Egy hullám olyan rezgés, amely terjed: ugyanaz az oda-vissza mozgás, de most a tér minden pontján kissé más időpontban zajlik, így egy pillanatfelvételen terjedő szinuszos mintázat látszik. Mindkettőt egyetlen differenciálegyenlet, az egyszerű harmonikus oszcillátor (SHM) x''(t) = -ω²x(t) írja le, amelynek általános megoldása a szinuszgörbe x(t) = A cos(ωt + φ). Ebből következik: T = 2π/ω periódus, f = ω/(2π) frekvencia, vmax = Aω csúcssebesség, amax = Aω² csúcsgyorsulás. Az oldal hat panelje a kanonikus eseteket fedi le: az SHM-et, az ingát mint órát, a hullámegyenletet v = fλ haladó hullámokra, a Doppler-eltolódást forrás vagy megfigyelő mozgásakor, az LC-rezonanciát mint rugóra akasztott tömeg elektromos megfelelőjét, és a lebegési frekvenciát két közeli hang interferenciájakor.
Egy egyenlet, hat arc: x(t) = A cos(ωt + φ) az SHM-sablon. Az x helyére a megfelelő fizikai változó kerül (szög ingánál, töltés LC-körnél, nyomás hangnál, elektromos térerősség fénynél), ω helyére pedig az adott rendszerre jellemző érték (√(g/L) ingánál, 1/√(LC) LC-körnél, √(k/m) rugóra akasztott tömegnél), így ugyanaz a szinuszgörbe írja le az itt látható mind hat panelt. A periódus, a frekvencia, a csúcssebesség és a csúcsgyorsulás egyetemes — csak a szimbólum-helyettesítés változik.
Harmonikus rezgőmozgás — az egyetemes szinuszgörbe
Az SHM minden olyan mozgás, amelyben a visszatérítő erő (vagy nyomaték, feszültség, nyomáskülönbség) arányos az egyensúlyi helyzettől mért elmozdulással. A rugóra akasztott tömeg a tankönyvi eset: F = -kx az x'' = -(k/m)x egyenletet adja, így ω = √(k/m). A helyzet bármely időpontban x(t) = A cos(ωt + φ), a sebesség v(t) = -Aω sin(ωt + φ), a gyorsulás a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). A mintával (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, vmax = Aω = 0,628 m/s, amax = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Ha megadunk egy t időpontot is, a számológép a pillanatnyi x(t), v(t), a(t) értékeket adja — három szinuszgörbe, amelyek 90°-kal vannak fáziseltolva. Az SHM megjelenik atomrácsokban (ahol fononokat modellez), váltakozó áramú körökben (ahol a feszültség és az áram szinuszosan rezeg ω = 2πf körfrekvencián), és bármely kis rezgésnél egyensúlyi helyzet körül.
Az egyszerű inga — óra, amelyhez nincs szükség rugóra
Egy L hosszúságú inga, amely g nehézségi gyorsulás alatt kis szögeknél (θ < ~15°) leng, kielégíti az SHM-egyenletet ω = √(g/L) értékkel. Periódusa a híres T = 2π√(L/g), amelyet Galilei elsőként jegyzett fel: független a test tömegétől és attól, milyen messzire lendítik ki. L = 1 m és g = 9,81 m/s² (Föld) mellett T ≈ 2,006 s, ez a klasszikus "másodperces inga", amelynek fél periódusa 1 s, és amely eredetileg a métert definiálta. A Holdon, ahol g = 1,62 m/s², ugyanez az 1 m-es inga T ≈ 4,94 s; a Marson (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Kb. 15°-os amplitúdó felett a kis szögű közelítés eltér, és korrekciós tag lép be, ezért egy valódi nagyapóra hosszú, lassú ingát használ (kis amplitúdóval), nem rövid, gyors ingát. A testtömeg kiesik a √(g/L) összefüggésből: nehéz és könnyű test ugyanazon a fonálon azonos periódust tart.
A hullámegyenlet v = fλ — egy sor, három ismeretlen
Minden haladó hullámnak — legyen az hang, fény, víz vagy szeizmikus — ugyanaz az alapösszefüggése: v = fλ — a hullámsebesség egyenlő a frekvencia és a hullámhossz szorzatával. A három mód bármelyik ismeretlent kiszámítja a másik kettőből. A minta (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) v = 343,2 m/s eredményt ad — pontosan a hang sebessége levegőben 20°C-on. Három referenciasebesség rögzíti a nagyságrendeket: hang levegőben ~343 m/s, hang vízben ~1480 m/s, fény vákuumban c = 3×10⁸ m/s. Ha a hullám egyik közegből a másikba lép, a törésre a Snell-törvény szolgál (az optika oldalon), de egy homogén közegen belül a v-t a közeg tulajdonságai határozzák meg (sűrűség és merevség hangnál, permittivitás és permeabilitás fénynél).
Doppler-effektus — amikor a hangmagasság a mozgással változik
A Doppler-effektus a megfigyelt frekvencia változása, amikor a forrás és a megfigyelő egymáshoz képest mozog. A klasszikus képlet f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs), ahol a számlálóban a felső előjel érvényes, ha a megfigyelő a forrás felé mozog (magasabb hangot hall), a nevezőben pedig az alsó előjel, ha a forrás a megfigyelő felé mozog (ekkor is magasabb hangot hall). A minta (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, a forrás áll, a megfigyelő 30 m/s-mal közeledik a forrás felé): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, azaz +87,46 Hz eltolódás vagy +8,75%. Ugyanez a 30 m/s-os forrás, amely álló hallgató felé mozog, ugyanazt az eredményt adja (a képlet szimmetrikus). Nagy sebességeknél a relativisztikus korrekció jelentőssé válik; egy radarpisztoly által 30 m/s-mal mért autónál a γ tényező 1-től csak ~5×10⁻¹⁷-del tér el, ezért a klasszikus képlet a hangra elegendő, a fénynél viszont a relativisztikus változat kell.
LC-rezonancia — az inga elektromos megfelelője
Az LC-kör (az L induktivitás párhuzamosan a C kapacitással) a tömeg-rugó rendszer elektromos megfelelője: a töltés tölti be az elmozdulás szerepét, az áram a sebességét, az L induktivitás a tömegét, az 1/C pedig a rugóállandóét. A töltés ω = 1/√(LC) körfrekvencián rezeg, ekvivalensen f = 1/(2π√(LC)) frekvencián. A minta (L = 100 mH, C = 10 μF) LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, így f ≈ 159,15 Hz, körfrekvencia ω ≈ 1000 rad/s és periódus T ≈ 6,28×10⁻³ s. A valódi LC-körökben van ellenállás is, ami a rezgést csillapítja — ezt a csillapítási sebességet minimalizálja az AM-rádió hangolója, hogy egy állomást tisztán vegyen. Ha pontosan f frekvenciájú külső forrást kapcsolunk, a kör rezonanciába kerül, és a feszültség- és áramamplitúdók jóval nagyobbak lesznek, mint rezonancián kívül.
Lebegési frekvencia — két hang, egy burkoló
Ha két, kissé eltérő frekvenciájú hang együtt szól, a légnyomás két szinuszgörbe összege — ami trigonometriával egy koszinusszal egyenlő az átlagos frekvencián, fp = (f1 + f2)/2, amelyet egy lassú burkoló modulál fbeat = |f1 − f2| frekvencián. A fül az átlagos hangmagasságot hallja erősödni és gyengülni a lebegési ütem szerint. A minta (f1 = 440 Hz, f2 = 445 Hz) fbeat = 5 Hz, fp = 442,5 Hz, lebegési periódus 0,2 s — egyértelműen hallható, másodpercenként 5-ször lüktető hang. Kb. 10 Hz alatt a lebegések külön lüktetésként hallhatók; kb. 30 Hz felett összemosódnak egy érdességgé vagy tremolóvá. A hangolók ezt használják: megszólaltatnak egy referenciahangot és a hangolandó húrt, figyelik a lebegéseket, és addig állítanak, amíg a lebegés meg nem szűnik. Ha a húrok tökéletesen hangoltak, fbeat = 0, és a számológép azt jelzi: "Azonos frekvenciák — nincs lebegés".
Gyakori tévhitek
- A periódus és a frekvencia nem azonos. T (másodperc ciklusonként) és f (ciklus másodpercenként) egymás reciprokai. T = 1/f. Egy 0,5 Hz-es rezgés egy teljes ciklust 2 másodperc alatt tesz meg.
- Az inga periódusa csak gyengén függ az amplitúdótól. A pontos periódus véges θ0 amplitúdónál T = T0·(1 + θ0²/16 + πθ0⁶/…). 15°-nál ez 0,7%-os korrekció, 30°-nál körülbelül 1,7% — a bevezető feladatokban általában elhanyagolják.
- A Doppler-eltolódás azonos, akár a forrás, akár a megfigyelő mozog. Akár a forrás mozog álló megfigyelő felé, akár a megfigyelő mozog álló forrás felé azonos sebességgel, a hangmagasság-eltolódás azonos (nem relativisztikusan).
- A rezonancia nem azonos a maximális amplitúdóval. A rezonancia feltétele ωhajtás = ωtermészetes. Csillapítás mellett a csúcsamplitúdó a csillapítatlan érték alatt marad; csillapítás nélkül az amplitúdó határtalanul nő (csak a nemlinearitás korlátozza).
Kapcsolódó eszközök: Modern fizika a de Broglie-hullámokhoz és a hullám-részecske kettősséghez, Elektromosság és áramkörök a váltakozó áramú elemzéshez, ahol az LC-rezonancia helyet kap, és Optika és fény az elektromágneses hullámokhoz.
