Két megmaradási törvény végzi a nehezét: a tömegmegmaradás adja a folytonossági egyenletet (Q = A·v, A1v1 = A2v2), az energiamegmaradás egy áramvonal mentén adja a Bernoulli-egyenletet (P + ½ρv² + ρgh = állandó). Minden más — a felhajtóerő, a hidrosztatikai nyomás, az ellenállás — speciális eset vagy következmény.
Arkhimédész-féle felhajtóerő — kiszorított súly
Bármely folyadékba merülő test felfelé mutató erőt érez, amely egyenlő a kiszorított folyadék súlyával: Fb = ρ·V·g, ahol ρ a folyadék sűrűsége, V a kiszorított térfogat, g a nehézségi gyorsulás. Az alapértelmezett minta (ρ = 1000 kg/m³ édesvíz, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) Fb ≈ 98,1 N-t ad — 10 kg víz súlyát. Ezért nyugszik félig víz alatt egy 10 kg-os faanyag-tömb (sűrűsége 700 kg/m³): a térfogatának fele a súlyának felét szorítja ki. Egy test úszik, ha átlagos sűrűsége kisebb a folyadékénál; süllyed, ha nagyobb; pontosan egyenlő sűrűségnél lebeg. Gázokra ugyanez az összefüggés működik, ρ-val a tengerszinten kb. 1,2 kg/m³ körül; ezért emel a héliumos léggömb literenként csak kb. 1 grammot — a sűrűségkülönbség kicsi.
Hidrosztatikai nyomás — az oszlop súlya
Nyugvó folyadékban a nyomás lineárisan nő a mélységgel: P = P0 + ρg·h, ahol P0 a felszíni nyomás (légköri, 101 325 Pa tengerszinten). Az alapértelmezett minta (20 m édesvíz) ρg·h = 196 200 Pa túlnyomást és 297 525 Pa összes nyomást ad (kb. 2,94 atm, 2,98 bar). A nyomás csak a mélységtől és a folyadék sűrűségétől függ, nem a tartály alakjától — ez a „hidrosztatikai paradoxon” — mert a h mélységben lévő minden folyadékelem fölött ugyanakkora súlyoszlop van. Pascal elve: a zárt folyadékra gyakorolt nyomásváltozás csökkenés nélkül továbbítódik minden részébe, ezért sokszorozzák a hidraulikus emelők az erőt: egy kis dugattyún kifejtett kis erő ugyanakkora nyomást hoz létre, mint amely egy nagy dugattyút arányosan nagy erővel tol fel.
Bernoulli — energia egy áramvonal mentén
Stacionárius, összenyomhatatlan, nem viszkózus áramlásnál az egységnyi térfogatra jutó energia egy áramvonal mentén megmarad: P + ½ρv² + ρgh = állandó. Az alapértelmezett minta légköri nyomáson indul, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, és v2 = 4 m/s, h2 = 5 m végponttal — a panel P2 ≈ 144 375 Pa értéket ad, kb. 201 425 Pa állandóval. A magasságcsökkenés potenciális nyomást ad, a sebességnövekedés pedig statikus nyomást vesz el. Ez a venturi-cső (egy szűkület gyorsítja az áramlást és csökkenti a nyomást), a karburátor (a levegőcsatorna torka csökkenti a nyomást és beszívja az üzemanyagot), a repülőgép-szárny (a felső felület gyorsítja a levegőt, csökkentve a nyomást, és emeli a szárnyat) és a pitot-cső (a nyomáskülönbség mér sebességet) működési elve. A Bernoulli-egyenlet ott nem működik, ahol az áramlás nem stacionárius, nem összenyomhatatlan vagy nem nem viszkózus — különösen magas Reynolds-számnál, ahol a turbulencia zajossá teszi a nyomást, és a képlet időben átlagol. Egy szárny emelése elsősorban Newton harmadik törvénye: a légáramlást lefelé téríti el; a Bernoulli-féle nyomáskülönbség a nyilvántartás, nem az ok.
Áramlási sebesség — mennyi másodpercenként
A térfogati áramlási sebesség Q = A·v, ahol A a keresztmetszeti terület, v az átlagsebesség. Az alapértelmezett minta (A = 0,05 m², v = 3 m/s) Q = 0,15 m³/s = 150 L/s-t, vagyis percenként 9 m³-t ad. Összenyomhatatlan áramlásnál egy változó keresztmetszetű csövön a tömegmegmaradás A1·v1 = A2·v2-t kényszerít ki: a keresztmetszet felezése megduplázza a sebességet. Ezért lő messzebbre a kertitömlő, ha a végét hüvelykujjal szűkítik, és ezért válik a folyó szűkítése a gyorsfolyású szakaszokon fehér vízzé. A folytonossági szabály bármely pillanatban helyi; a sebesség nem „emlékszik” a korábbi szakaszokra. Összenyomható áramlásnál (gázvezetékek, sugárhajtóművek) a megfelelő invariáns a tömegáram ρA·v, amely állandó, ha nem adunk hozzá vagy nem veszünk el folyadékot.
Stokes-féle közegellenállás — a folyadékellenállás lamináris vége
Egy r sugarú gömbnek, amely μ viszkozitású folyadékban kis sebességgel mozog, az ellenállóereje Fd = 6πμr·v. Az alapértelmezett minta (μ = 0,001 Pa·s víz, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) Fd ≈ 9,42×10−5 N (kb. 94 μN) értéket ad. Az összefüggés lineáris v-ben, mert kis Reynolds-számnál a nyom szimmetrikus, és a viszkozitás dominál; a gömb ellenállás elleni munkája a folyadék viszkózus melegedésébe megy át. A Stokes-ellenállás csak Re < 1 esetén működik — egy 1 cm-es gömbnél vízben ez kb. 10−4 m/s alatti sebességeket jelent. Nagyobb sebességnél az ellenállási együttható nagyjából állandóvá válik, és az erő v²-tel skálázódik v helyett. A Stokes-ellenállás szabályozza a por ülepedését levegőben, a baktériumok úszását és a finom üledék leesését vízben.
Reynolds-szám — rend vagy káosz
A dimenziótlan Re = ρvL/μ arány a tehetetlenségi erőket hasonlítja össze a viszkózus erőkkel. Az alapértelmezett minta (víz, v = 1 m/s, L = 0,1 m) Re ≈ 100 000 értéket ad, határozottan a turbulens tartományban. Tapasztalati szabályok: Re < ~2000 esetén lamináris az áramlás (sima, kiszámítható, párhuzamos áramvonalak); Re > ~4000 esetén turbulens (kaotikus, keveredő, örvényekkel); a kettő közötti keskeny sáv átmeneti. A vérárámlás az aortában (Re ~ 4000) a határon van; a kapillárisokban (Re ~ 0,001) határozottan lamináris, és ott érvényes a Stokes-ellenállás. A repülőgép-szárny körüli levegő szándékosan turbulens, hogy késleltesse az áramlásleválást. A Reynolds-szám az oka annak, hogy a csöveknek van „kritikus sebessége”, amely fölött a szivattyúzás költsége ugrik, és annak, hogy a gyertya füstje néhány centiméteren át sima lamináris oszlopként emelkedik, mielőtt kaotikus gomolyokra bomlik.
Gyakori tévhitek
- Az Arkhimédész-erő onnan jön, hogy az alul lévő folyadék felfelé nyom. Az a teljes elmerülő felületen vett nyomás integráljából származik. A nyomás alul nagyobb, de az oldalsó hozzájárulások sem nullák, és az eredő pontosan a kiszorított folyadék súlya — ezért nem változtatja meg a tartály alakja az eredményt.
- A repülőgép-szárnyak azért emelnek, mert a felső felület hosszabb, és a levegőnek „utol kell érnie”. Az emelést a cirkuláció és a szárny alakja által keltett nyomáskülönbség adja; az egyenlő-áthaladási-idő egy népi levezetés, amely a rossz okból éppen a jó számértéket adja. Kis sebességű szárnyaknál a domináns mechanizmus a nyomáseloszlás, nem a „felül gyorsabban áramlik” elv.
- Stokes törvénye bármilyen sebességnél működik. Csak akkor, ha Re < 1. Egy 1 cm-es acélgolyó vízben esve néhány tized milliméter/másodpercnél éri el a Re = 1 értéket; efölött a turbulens nyom aszimmetrikussá válik, és az ellenállás v²-szerű viselkedés felé nő. A Stokes-törvény alulbecsüli az ellenállást bármi esetében, ami egy golyóhoz hasonlít.
- A nyomás mindig kifelé nyom a folyadékból. Egy nyugvó folyadékban a nyomás izotróp: minden irányba egyformán nyom. A merülő felületre ható „alulról jövő nyomás” csak ugyanannak a nyomásnak a lefelé mutató komponense, amely minden négyzetcentiméteren oldalirányba és felfelé is nyom.
Kapcsolódó eszközök: a Mechanika az erőhöz, munkához és energiához, a Termodinamika az összenyomható áramláshoz és gázdinamikához, a Mértékegység-átváltó pedig a Pa, bar, atm és psi közötti váltáshoz.
