Calcolatrice di astrofisica

L'astrofisica è la parte della fisica che usa la gravità e il moto come linguaggio di base di tutto, da una luna a una galassia. Sei calcolatori di questo pannello rispondono alle sei domande ricorrenti che si possono porre su un corpo o una traiettoria: a che velocità devo lanciare qualcosa per lasciare il sistema? A che velocità girarci attorno? Quanto dura un'orbita? Quanto dovrebbe essere piccola la stessa massa per collassare in un buco nero? Quanto delta-v guadagna un razzo per frazione di combustibile? E quanto è lontana una galassia la cui luce si sposta verso il rosso? Tutto il resto — distanze misurate con la parallasse rispetto alla base orbitale terrestre di una unità astronomica (UA = 1,496×10¹¹ m), magnitudini come graduatoria logaritmica della luminosità, redshift z ≈ v/c come versione a bassa velocità della legge di Hubble — poggia sulla stessa impalcatura newtoniana e relativistica.

Ogni corpo di massa M e raggio R crea un pozzo di energia potenziale di profondità GM/R per unità di massa. Per risalire dalla superficie occorre un'energia cinetica almeno pari a tale profondità, che dà la velocità di fuga. Inserendo la Terra: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — il pannello restituisce v_e ≈ 11186 m/s (11,19 km/s, circa Mach 33). Marte si ferma a ≈ 5,03 km/s, la Luna a 2,38 km/s, Giove a 60 km/s (dove l'idrogeno è un pessimo propellente per razzi, ma la matematica è la stessa) e il Sole a 618 km/s. Nota: la formula assume assenza di attrito atmosferico e nessuna ulteriore propulsione; il valore reale per un qualsiasi razzo include le perdite aerodinamiche, la resistenza gravitazionale durante la salita e le perdite di guida. È anche la velocità da fermi alla superficie; un oggetto già in orbita richiede un Δv minore per fuggire dalla sua altitudine, mai il valore pieno di superficie. La stessa scala fissa il peso in superficie: su Marte (g = 3,71 m/s²) un astronauta di 70 kg pesa 260 N — massa invariata, peso che segue la gravità locale.

Un'orbita circolare stabile bilancia l'accelerazione centripeta con la gravità: v_o = √(GM/r). Il preset predefinito della Terra a r = 7×10⁶ m (circa 629 km di altitudine — territorio della ISS) dà v_o ≈ 7546 m/s e un periodo di 5829 s (~1,62 ore). La ISS reale si trova a circa 408 km e compie un'orbita in circa 92,7 minuti; l'altitudine del pannello è un numero illustrativo, non un programma di volo. La relazione produce anche la fuga — moltiplichi v_o per √2 per ottenere v_e alla stessa altitudine. La velocità orbitale è indipendente dalla massa in orbita: una piuma e una corazzata nella stessa orbita si muovono alla stessa velocità (nel vuoto), ed è per questo che la meccanica orbitale tratta i satelliti come particelle puntiformi.

T² = (4π²/GM) · a³ collega il periodo orbitale al semiasse maggiore. Il preset Sole-Terra predefinito (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 UA per definizione) dà T ≈ 365,21 giorni, esattamente la durata del nostro anno. Risolvendo al contrario — dato un periodo in secondi, calcolare a — è il modo in cui gli astronomi misurano il semiasse maggiore di qualsiasi satellite il cui periodo possono cronometrare. La stessa base di 1 UA è anche la definizione del parsec: una stella che mostra uno spostamento parallattico di 1 arcosecondo sullo sfondo quando la Terra percorre 2 UA si trova esattamente a 1 parsec = 3,26 anni luce di distanza — e 1 parsec = 206265 UA. Chilometri e anni luce diventano ingestibili alle scale interstellari; parsec e UA sono le unità di lavoro.

Se si comprime una massa M al di sotto del suo raggio di Schwarzschild R_s = 2GM/c², nessun segnale dall'interno può risalire: è l'orizzonte di un buco nero non rotante. I numeri sono sorprendentemente piccoli per masse ordinarie: il R_s della Terra è circa 8,87 mm — più piccolo di una biglia; quello del Sole è circa 2,95 km. Per farne collassare uno dei due servirebbero densità che nessuno stato noto della materia fornisce. I buchi neri reali si formano alla morte delle stelle, dove 14,76 km per un residuo di 5 M_⊙ (il preset «piccolo buco nero» del pannello) è l'ordine di grandezza giusto per oggetti di tipo Cygnus X-1, mentre un buco nero supermassiccio di 4×10⁶ M_⊙ come Sagittario A* al centro della nostra galassia ha R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (circa il 17% dell'orbita di Mercurio). Il raggio di Schwarzschild è una previsione di coordinate della relatività generale; l'orizzonte effettivo di un buco nero rotante (di Kerr) è diverso e può essere più piccolo.

La conservazione della quantità di moto per un razzo che espelle gas all'indietro alla velocità v_e, con rapporto di massa m₀/m_f, porta a Δv = v_e · ln(m₀/m_f). L'esempio caricabile del pannello (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500000 kg, m_f = 50000 kg) dà Δv ≈ 6907,76 m/s per un rapporto di massa di 10 e una frazione di propellente del 90%. L'equazione è brutalmente logaritmica: raddoppiare il propellente aggiunge v_e·ln(2) di Δv, non lo raddoppia. L'orbita terrestre bassa richiede circa 9,4 km/s di Δv in totale; il trasferimento verso l'orbita geostazionaria circa 11,5 km/s; il trasferimento lunare circa 12,5 km/s — ed è per questo che i razzi sono a stadi, perché gli stadi superiori sono piccole frazioni della massa al lancio, e perché il lancio single-stage-to-orbit resta ostinatamente difficile.

L'osservazione di Edwin Hubble del 1929, secondo cui le galassie si allontanano con velocità proporzionale alla distanza, dà d = v/H₀. Con H₀ = 70 km/s/Mpc del pannello, una galassia a v = 1000 km/s si trova a d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ anni luce. Per le galassie vicine la velocità di recessione è una piccola frazione di c, quindi z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; la legge lineare di Hubble è allora un caso particolare della recessione cosmologica in un universo in espansione. La relazione si rompe ad alto redshift (z > 0,1), dove subentra il modello cosmologico completo, ed è per questo che il riquadro informativo avverte che la formula vale per galassie «relativamente vicine» — la stessa avvertenza vale per l'uso di v_e o v_o vicino alla velocità della luce (le correzioni relativistiche contano). La scala delle distanze di Hubble — parallasse, Cefeidi, supernove di tipo Ia, flusso di Hubble — è ciò che calibra lo stesso H₀, e l'attuale «tensione» di H₀ tra valori locali e valori dedotti dal CMB resta uno dei problemi aperti della cosmologia.

• La velocità di fuga è una velocità di lancio da terra. È la velocità da fermi al raggio dato senza ulteriore propulsione; un razzo che sale per ore con una spinta bassa e costante non deve raggiungere v_e in nessun istante.
• I buchi neri risucchiano le cose come un aspirapolvere. Il raggio dell'orizzonte è fissato dalla massa centrale, non dall'oggetto «attirato». A r » R_s la gravità è semplicemente quella di Newton; solo molto vicino all'orizzonte diventa inesorabile. Il Sole, se fosse un buco nero della stessa massa, non cambierebbe affatto l'orbita della Terra.
• Più propellente significa Δv proporzionalmente maggiore. Tsiolkovsky è logaritmico: raddoppiare il propellente aggiunge v_e·ln(2), non raddoppia il delta-v. È il numero più importante dell'ingegneria dei razzi.
• La parallasse misura le dimensioni delle stelle. La parallasse misura la distanza, con la stessa triangolazione geometrica usata dai topografi — più lunga è la base, maggiore la distanza misurabile. La base di 2 UA dell'orbita annuale terrestre rende il parsec un'unità naturale.

Strumenti collegati: Meccanica per la cinematica sottostante, Fisica moderna per gli effetti relativistici alle alte velocità, e la Calcolatrice per il meccanismo algebrico che esegue le formule sopra.