Tre prodotti fanno tutto ciò che serve: il prodotto scalare (uno scalare che misura l'allineamento, A·B = |A||B|cos θ), il prodotto vettoriale (un vettore perpendicolare a entrambi gli input, modulo |A||B|sin θ) e l'operatore di proiezione (componente di A lungo una direzione scelta). Sono la contabilità di ogni formula fisica che coinvolge più di un vettore.
Modulo ed esempio canonico in 2D
Il triangolo rettangolo 3-4-5 è l'esempio canonico per i vettori 2D. Prendiamo A = (3, 4). Il suo modulo è |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. La sua direzione rispetto all'asse +x è arctan(4/3) ≈ 53,13°. Ogni vettore 2D si può scrivere come modulo per un versore che punta in quella direzione: A = 5·(0,6, 0,8). Il pannello di scomposizione accetta un modulo e gli angoli θ e φ e restituisce le componenti x, y, z secondo una convenzione sferica (x = r cos θ cos φ, y = r cos θ sin φ, z = r sin θ) o piana (con φ ignorato, x = r cos θ, y = r sin θ). Per r = 10, θ = 36,87° in modalità 2D restituisce (8, 6, 0) — il triangolo rettangolo 6-8-10, scalato dall'originale 3-4-5. Riconoscere questi triangoli interi è la scorciatoia per individuare quali componenti sono perpendicolari senza ricorrere alla trigonometria.
Prodotto scalare — misura scalare dell'allineamento
Per due vettori A e B, il prodotto scalare A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) è uno scalare uguale a |A||B|cos θ — cioè il prodotto dei moduli per il coseno dell'angolo tra loro. L'esempio 2D predefinito (A = (3, 4), B = (5, 2)) dà A·B = 15 + 8 = 23, moduli |A| = 5 e |B| = √29 ≈ 5,385, e cos θ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, quindi θ ≈ 31,33°. Tre conseguenze sul segno portano tutta l'interpretazione: cos θ > 0 significa angolo acuto e vettori che puntano più o meno nella stessa direzione; cos θ < 0 significa angolo ottuso e vettori opposti; cos θ = 0 significa perpendicolari. Il prodotto scalare è il lavoro compiuto da una forza F lungo uno spostamento d (L = F·d), e il coseno è il motivo per cui spingere con un angolo è meno efficace che spingere lungo la linea del moto.
Prodotto vettoriale — vettore perpendicolare a entrambi
Il prodotto vettoriale è un'operazione solo 3D il cui risultato è un vettore perpendicolare a entrambi gli input, con modulo |A||B|sin θ e direzione data dalla regola della mano destra (indice lungo A, medio lungo B, il pollice dà A×B). In componenti, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). L'esempio 3D predefinito (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) dà A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Il prodotto vettoriale è antisimmetrico: B×A = −A×B, quindi scambiare gli input cambia il segno. Tre comparse in fisica: il momento torcente τ = r×F (forza rotazionale), il momento angolare L = r×p (momento angolare orbitale) e la forza magnetica F = qv×B su una carica in moto. Il modulo |A×B| è uguale all'area del parallelogramma che i due vettori generano, ed è per questo che i risultati del prodotto vettoriale descrivono sempre un'area o una rotazione. Il momento torcente è il prodotto vettoriale in azione: τ = r×F ha modulo |r||F|sin θ, quindi spingere attraverso il perno dà zero e una chiave più lunga dà più momento.
Angolo tra vettori
Una volta noti prodotto scalare e moduli, l'angolo è un solo arcocoseno: cos θ = A·B/(|A||B|), con θ in [0, π]. Un prodotto scalare piccolo rispetto ai moduli significa vettori quasi perpendicolari; un prodotto scalare uguale a |A||B| significa vettori con la stessa direzione (θ = 0); un prodotto scalare uguale a −|A||B| significa opposti (θ = π). La formula è la stessa in 2D e 3D — cambia solo la dimensione delle somme delle componenti. Geometricamente il prodotto scalare si può vedere come la proiezione di A su B (o di B su A) moltiplicata per il modulo dell'altro, quindi il coseno è letteralmente il rapporto di proiezione.
Versore e proiezione
Un versore è un vettore di modulo 1 che punta nella stessa direzione dell'originale: u = A / |A|. I versori descrivono la «pura direzione»; i vettori di base i, j, k delle coordinate cartesiane sono gli esempi canonici, e qualsiasi direzione in 3D si può scrivere come combinazione lineare di essi. La proiezione di A su B (o la componente di A lungo B) è projBA = (A·B / |B|²) · B — la parte di A che giace lungo B. La versione scalare (A·B/|B|) è la lunghezza con segno di quella proiezione. È ciò che rende il prodotto scalare la formula del lavoro: la componente dello spostamento lungo la forza, moltiplicata per il modulo della forza, è il lavoro compiuto.
Idee sbagliate
- Il prodotto scalare è la moltiplicazione di vettori. È il prodotto scalare — produce un numero, non un vettore. Analogamente il prodotto vettoriale è il prodotto vettoriale. Chiamarli «moltiplicazione» nasconde che hanno output completamente diversi.
- Il prodotto vettoriale è uno scalare. In 2D la componente perpendicolare è talvolta chiamata scalare (il determinante axby − aybx), ma in 3D il prodotto vettoriale è genuinamente un vettore. Sia il modulo sia la direzione hanno un significato fisico.
- Il prodotto vettoriale è commutativo. È anticommutativo: A×B = −B×A. L'ordine conta — il momento torcente r×F ha il senso opposto a F×r.
- Un vettore ha una posizione fissa. I vettori sono liberi — si possono spostare sulla pagina senza cambiarli. Ciò che è fisso è modulo e direzione; solo alcuni vettori in fisica (vettori posizione, campo elettrico in un punto) sono legati a una posizione.
Strumenti collegati: Meccanica per momento torcente, lavoro e momento angolare nel contesto, Dinamica rotazionale per come il prodotto vettoriale costruisce il momento angolare, e Elettricità e circuiti per la forza magnetica F = qv×B.
