Quattro grandezze conservate fanno il lavoro pesante: la quantità di moto (p = mv) in assenza di forze esterne; l'energia meccanica (Ec + Ep) quando agiscono solo forze conservative; il momento angolare in assenza di momento esterno; la massa nelle interazioni ordinarie (non nucleari). Insieme risolvono quasi tutti i problemi dei libri di testo.
Moto del proiettile — il volo parabolico
Lanci qualsiasi oggetto con velocità iniziale v0 ad angolo θ sopra l'orizzontale e la traiettoria diventa una parabola quando la resistenza dell'aria è trascurabile. I moti orizzontale e verticale sono indipendenti: x(t) = v0 cos θ · t (velocità orizzontale costante) e y(t) = v0 sin θ · t − ½ g t² (caduta verticale uniformemente accelerata). Da questa cinematica seguono tre risultati riassuntivi: gittata R = v0² sin(2θ) / g, altezza massima H = v0² sin²(θ) / (2g), tempo di volo T = 2v0 sin θ / g (per un lancio dal livello del suolo). L'esempio predefinito (v0 = 20 m/s, θ = 45°, g terrestre = 9,81 m/s²) dà vx = vy = 14,142 m/s, R = 40,775 m, H = 10,194 m e T = 2,883 s. L'angolo di 45° dà la gittata massima su terreno piano per una data velocità, e sulla Luna lo stesso lancio raggiunge R = 246,91 m perché la gravità è sei volte più debole.
Caduta libera — tre forme cinematiche equivalenti
Un oggetto lasciato da fermo cade sotto gravità costante con tre relazioni intercambiabili: v = gt (velocità istantanea al tempo t), h = ½ g t² (distanza percorsa da fermo dopo il tempo t) e v = √(2gh) (velocità dopo la caduta di una distanza h). Ciascuna è un caso particolare delle equazioni del moto uniformemente accelerato e si converte nelle altre per sostituzione. L'esempio predefinito (h = 100 m, Terra) dà t = 4,515 s, v = 44,294 m/s e v = 159,46 km/h — circa la velocità terminale di un paracadutista in posizione stabile a braccia e gambe divaricate. Passando alla modalità da tempo, una caduta di 3 secondi dà d = 44,145 m e v = 29,43 m/s (circa 105,95 km/h). La stessa caduta sulla Luna richiede t = 11,11 s e raggiunge solo 17,97 m/s — la stessa caduta, sei volte più lenta.
Piano inclinato — la gravità scomposta nelle componenti
Un blocco di massa m su un pendio di angolo θ è soggetto alla gravità P = mg diretta verso il basso, ma solo la componente lungo la superficie accelera il blocco; la componente perpendicolare alla superficie è annullata dalla forza normale. La scomposizione è geometrica: Fparallela = mg sin θ, normale N = mg cos θ. L'attrito aggiunge una forza resistente f = μN = μmg cos θ che si oppone al moto; il coefficiente di attrito dinamico μ va da circa 0,04 (acciaio su ghiaccio) a 0,8 (gomma su gomma). La forza netta verso il basso del piano è Fnetta = mg sin θ − μmg cos θ, da cui l'accelerazione a = g(sin θ − μ cos θ). L'esempio predefinito (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 m/s²) dà P = 98,1 N, N = 84,957 N, Fparallela = 49,05 N, f = 16,991 N, Fnetta = 32,059 N e a = 3,206 m/s². Il blocco scivola verso il basso perché la componente parallela supera l'attrito. Se alza μ fino a 0,6, la forza netta diventa negativa — il blocco resta fermo (o risale se lo spinge); l'attrito ha vinto. L'angolo al quale un blocco con attrito inizia a scivolare è arctan(μ), l'angolo di attrito; sotto di esso l'attrito statico tiene fermo il blocco.
Seconda legge di Newton — F = m · a, tre modalità
La seconda legge di Newton in forma scalare è F = m · a: la forza netta su un oggetto è uguale alla sua massa per la sua accelerazione. Il valore predefinito (massa 10 kg, accelerazione 5 m/s²) dà F = 50 N. Cambiando il menu, lo stesso pannello calcola la massa (m = F / a), l'accelerazione (a = F / m) o il peso (P = m · g, con g terrestre 9,81 m/s²). Una persona di 70 kg ha P = 686,7 N sulla Terra e P = 113,4 N sulla Luna — la stessa persona, la stessa massa, ma un peso sei volte inferiore perché la gravità è sei volte più debole. Il peso è una forza (newton); la massa è una quantità di materia (chilogrammi).
Quantità di moto e impulso — le due leggi di conservazione gemelle
Un oggetto in moto possiede una quantità di moto p = mv, vettore diretto lungo la velocità. Per cambiare la quantità di moto di un oggetto serve un impulso J = FΔt = Δp, pari alla forza applicata moltiplicata per il tempo di applicazione. L'esempio predefinito (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0,5 s) dà p = 30 kg·m/s, Ec = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12,5 m/s e una velocità finale di vfinale = 27,5 m/s se l'impulso è applicato nel verso del moto. Lo stesso impulso dato da una forza minore per un tempo più lungo (una presa «morbida») o da una forza maggiore per un tempo più breve (un urto «duro») produce la stessa variazione di quantità di moto. In un sistema chiuso senza forze esterne, la quantità di moto totale si conserva: un oggetto di 2 kg a 15 m/s che colpisce un oggetto fermo di 1 kg finisce con v1' = 5 m/s e v2' = 20 m/s (perfettamente elastico) oppure entrambi con una velocità comune v = 10 m/s (perfettamente anelastico). Questa contabilità è la base di ogni analisi degli urti, dal biliardo ai fasci di protoni.
Lavoro, energia e potenza — la contabilità conservata
Quando una forza sposta un oggetto lungo una distanza, compie un lavoro L = F · d (il prodotto scalare rende la formula esatta anche per forze non allineate: conta solo la componente di F lungo d). L'energia che un oggetto possiede in virtù del moto è l'energia cinetica Ec = ½mv²; quella che possiede in virtù della posizione in un campo gravitazionale è l'energia potenziale Ep = mgh. L'energia meccanica totale E = ½mv² + mgh si conserva quando agisce solo la gravità (senza attrito, senza forze applicate) — per questo un pendolo oscilla alla stessa altezza a ogni ciclo e una palla lanciata verso l'alto torna alla velocità di partenza in discesa. La potenza P = L / t misura la rapidità con cui si compie il lavoro. L'esempio predefinito (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9,81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) dà Ec = 250 J, Ep = 981 J, energia meccanica totale = 1231 J, L = 200 J, P = 100 W e P = 0,1341 hp.
Idee sbagliate comuni
- Gli oggetti pesanti cadono più in fretta di quelli leggeri. Nel vuoto è vero il contrario: ogni oggetto accelera con la stessa g indipendentemente dalla massa. La resistenza dell'aria rompe la parità perché scala con la sezione, non con il peso — una piuma e un martello lasciati insieme sulla Terra toccano il suolo in tempi diversi, ma sulla Luna (senza aria) toccano insieme, come dimostrato in diretta durante l'Apollo 15.
- Forza e velocità sono la stessa cosa. La forza causa l'accelerazione (F = ma); la velocità è ciò che si ottiene da una forza sostenuta. Un'auto ferma ha forza alle ruote ma velocità zero; un disco da hockey scivola su ghiaccio senza attrito a velocità costante con forza netta nulla.
- Quantità di moto ed energia cinetica sono la stessa cosa. Entrambe si annullano a riposo, ma scalano in modo diverso. Raddoppiare la velocità raddoppia la quantità di moto (p = mv) ma quadruplica l'energia cinetica (Ec = ½mv²). Un camion da 2 tonnellate a 60 mph ha la stessa quantità di moto di un'auto da 1 tonnellata a 120 mph, ma la metà dell'energia cinetica.
- «g» è una forza. g è l'accelerazione di gravità (m/s²). La forza della gravità su un oggetto è P = mg. Una massa di 1 kg pesa 9,81 N sulla Terra; sulla Luna pesa 1,62 N perché g è sei volte più piccola.
Strumenti collegati: Calcolatrice di vettori per scomporre forze e velocità in componenti, Elettricità e circuiti per il contesto elettromagnetico della forza, Onde e oscillazioni per i cugini oscillanti del moto del proiettile, Rotazione e coppia per la controparte angolare del moto rettilineo, e Termodinamica e calore per il lato energetico della meccanica.
