Che cos'è il moto rotatorio?
La rotazione è la cinematica e la dinamica delle cose che girano — ruote, ingranaggi, pianeti, molecole, uragani. La contabilità è quasi identica a quella lineare: lo spostamento lineare diventa spostamento angolare θ (radianti), la velocità lineare diventa velocità angolare ω (rad/s), l'accelerazione lineare diventa accelerazione angolare α (rad/s²), la massa diventa momento d'inerzia I (kg·m²) e la forza diventa momento torcente τ (N·m). La seconda legge di Newton assume la forma rotazionale τ = I·α, e il momento angolare L = I·ω si conserva in assenza di momento torcente esterno, esattamente come la quantità di moto lineare si conserva in assenza di forza esterna. I sei calcolatori di questo pannello coprono le formule di lavoro: forza centripeta per il moto circolare, conversione delle unità di velocità angolare, momento torcente, momento d'inerzia per forme comuni, momento angolare con energia cinetica rotazionale, e la pseudo-forza centrifuga nei sistemi rotanti.
Due parallelismi da ricordare: quantità di moto lineare p = mv e momento angolare L = Iω; forza F = ma e momento torcente τ = Iα. Il momento d'inerzia I ha lo stesso ruolo della massa m, ma dipende dalla forma e da come la massa è distribuita rispetto all'asse di rotazione.
Forza centripeta — la spinta verso l'interno che curva la traiettoria
Ogni oggetto che si muove in cerchio cambia direzione, il che è accelerazione, che richiede una forza — diretta verso il centro. Il modulo è F = mv²/r = mω²r. L'esempio predefinito (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) dà F = 50 N e un'accelerazione centripeta di 50 m/s² (≈ 5 g), con velocità angolare 5 rad/s (≈ 47,75 giri/min). La forza è reale: per una palla legata a una corda è la tensione della corda; per un'auto in curva è l'attrito tra pneumatici e strada; per un satellite in orbita è la gravità. Se si toglie la forza (la corda si spezza, le gomme perdono aderenza) l'oggetto parte tangenzialmente, non radialmente verso l'esterno: la spinta verso l'esterno che si sente in un'auto che curva è la pseudo-forza centrifuga nel sistema rotante, non la forza centripeta nel sistema inerziale.
Velocità angolare — le quattro unità che si incontrano qui
Lo stesso oggetto rotante può essere descritto in giri al minuto (RPM), in radianti al secondo (rad/s, unità SI), in giri al secondo (Hz) o in gradi al secondo. L'esempio predefinito (1200 RPM) diventa ω ≈ 125,66 rad/s, 7200 gradi/s oppure 20 Hz, con un periodo di 0,05 s per giro. Le relazioni: ω = 2πf = 2π n/60 dove n sono gli RPM; il fattore 2π converte giri in radianti, e 60 converte minuti in secondi. Queste conversioni contano meno per il lavoro sui libri di testo che per motori e propulsori, dove gli RPM sono la lettura del quadrante e il momento torcente (in N·m) è il lavoro utile.
Momento torcente — la leva, pesata con l'angolo
Il momento torcente è l'analogo rotazionale della forza: τ = r·F·sin θ, dove r è la lunghezza del braccio della leva, F la forza applicata e θ l'angolo tra loro. L'esempio predefinito (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) dà τ = 15 N·m. Il fattore sin θ significa che la forza è più efficace a 90° (perpendicolare alla leva); spingere lungo la leva (θ = 0 o 180°) produce momento torcente zero, qualunque sia la forza. È per questo che una chiave gira un bullone più facilmente quando si spinge perpendicolarmente al manico, e perché un manico più lungo dà più momento torcente con la stessa forza applicata — per cui chiavi, maniglie di porte e volanti sono più grandi degli assi che girano.
Momento d'inerzia — la massa rotazionale
Il momento d'inerzia è l'analogo rotazionale della massa e dipende da come la massa è distribuita rispetto all'asse. Per una sfera piena di massa m e raggio R, I = (2/5)mR²; per un disco pieno o un cilindro attorno al proprio asse centrale, I = (1/2)mR²; per un anello sottile o un cerchio, I = mR²; per un'asta uniforme attorno al centro, I = (1/12)mL². L'esempio predefinito (sfera piena, m = 2 kg, R = 1 m) dà I = 0,8 kg·m². La conseguenza pratica è che un anello è più difficile da far ruotare di un disco della stessa massa e raggio (tutta la massa sta sul bordo), e una sfera cava è più difficile da far ruotare di una piena. Più la massa è lontana dall'asse, maggiore è I — per questo una pattinatrice artistica che raccoglie le braccia accelera: I diminuisce, ω aumenta e L = Iω resta costante.
Momento angolare — la quantità conservata
Il momento angolare è L = Iω, in kg·m²/s; l'energia cinetica rotazionale è Ec = ½Iω². L'esempio predefinito (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) dà L = 50 kg·m²/s e Ec = 250 J. La legge di conservazione è la stessa della quantità di moto lineare: in assenza di momento torcente esterno, L resta costante. Una trottola continua a girare finché l'attrito (un momento torcente esterno) resta piccolo; un pianeta in orbita libera conserva il momento angolare spazzando aree uguali in tempi uguali (seconda legge di Keplero). L'affermazione congiunta spiega perché i giroscopi resistono all'inclinazione: cambiare la direzione di L richiede un momento torcente, e un giroscopio che gira velocemente ha così tanto L che piccoli momenti torcenti lo deviano appena.
Forza centrifuga — la pseudo-forza del sistema rotante
All'interno di un sistema rotante, un oggetto fermo sente una forza fittizia verso l'esterno pari alla forza centripeta che gli servirebbe per restare sul cerchio. Il modulo è F = mω²r, identico alla formula centripeta. L'esempio predefinito (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) dà F = 150 N verso l'esterno, una velocità tangenziale di 15 m/s e una forza-g di circa 152,91 g. La pseudo-forza non esiste in un sistema inerziale (non rotante), dove la forza verso l'interno della corda o della parete è la forza centripeta e non c'è alcuna spinta verso l'esterno. La centrifuga è ciò che fa restare l'acqua nel secchio durante un'oscillazione verticale, ciò che asciuga i vestiti in lavatrice, ciò che separa i componenti del sangue in una centrifuga e ciò che tiene i passeggeri contro la parete esterna in un modello rotante di stazione spaziale. Le due forze sono per definizione uguali in modulo e opposte in direzione.
Idee sbagliate comuni
- La forza centrifuga è una forza reale che spinge verso l'esterno. È una forza fittizia che compare solo in un sistema rotante (non inerziale). In un sistema inerziale l'unica forza è quella centripeta verso l'interno: ciò che si sente come «verso l'esterno» è l'inerzia che resiste alla trazione verso l'interno.
- Il momento angolare fa girare una trottola per sempre. Il momento angolare si conserva solo in assenza di momento torcente esterno. Una trottola rallenta perché l'attrito sulla punta è un momento torcente esterno; un cuscinetto senza attrito (vuoto spinto, superconduttore) può mantenere in rotazione una ruota per giorni, ma non per sempre.
- Gli oggetti più pesanti hanno momenti d'inerzia maggiori. Lo hanno quelli più pesanti di pari forma; ma un anello cavo e un disco pieno della stessa massa possono avere momenti molto diversi, perché conta la distribuzione, non solo la massa totale.
- Un oggetto in moto circolare non ha forza netta. Ha forza netta zero se si muove a velocità costante in linea retta. Un percorso circolare è accelerazione costante verso il centro, che richiede una forza costante verso l'interno. Se si toglie la forza, l'oggetto lascia il cerchio.
Strumenti collegati: Meccanica per la dinamica lineare sottostante, Meccanica dei fluidi per i vortici e il flusso rotante, e Fisica moderna per il momento angolare quantistico che compare negli atomi.
