Calcolatrice di onde e oscillazioni

Oscillazioni e onde sono la stessa fisica sottostante con costumi diversi. Un'oscillazione è qualsiasi cosa che si muova avanti e indietro attorno a una posizione di equilibrio — una massa su una molla, il peso di un pendolo, una tensione ai capi di un condensatore, l'altezza di una corda di chitarra, la pressione all'interno di un'onda sonora. Un'onda è un'oscillazione che si propaga: lo stesso moto avanti e indietro, ma ora avviene con un istante leggermente diverso in ogni punto dello spazio, quindi un'istantanea mostra uno schema sinusoidale che si propaga. Entrambe sono governate da un'unica equazione differenziale, l'oscillatore armonico semplice (MAS) x''(t) = −ω²x(t), la cui soluzione generale è la sinusoide x(t) = A cos(ωt + φ). Da qui: periodo T = 2π/ω, frequenza f = ω/(2π), velocità massima v_max = Aω, accelerazione massima a_max = Aω². Sei pannelli di questa pagina coprono i casi canonici: il MAS stesso, il pendolo come orologio, l'equazione d'onda v = fλ per le onde progressive, lo spostamento Doppler quando sorgente o osservatore si muovono, la risonanza LC come analogo elettrico di una massa su una molla, e la frequenza di battimento quando due toni vicini interferiscono.

Il MAS è qualsiasi moto in cui la forza di richiamo (o il momento, o la tensione, o la differenza di pressione) è proporzionale allo spostamento dall'equilibrio. La massa su una molla è il caso da manuale: F = −kx produce x'' = −(k/m)x, quindi ω = √(k/m). La posizione in ogni istante è x(t) = A cos(ωt + φ), la velocità v(t) = −Aω sin(ωt + φ), l'accelerazione a(t) = −Aω² cos(ωt + φ). Con l'esempio (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Se inserisce anche un tempo t, il calcolatore riporta x(t), v(t), a(t) istantanei — tre sinusoidi sfasate di 90°. Il MAS compare nei reticoli atomici (dove modella i fononi), nei circuiti in corrente alternata (dove tensione e corrente oscillano sinusoidalmente a ω = 2πf) e in ogni piccola vibrazione attorno all'equilibrio.

Un pendolo di lunghezza L che oscilla sotto la gravità g a piccoli angoli (θ < ~15°) soddisfa l'equazione del MAS con ω = √(g/L). Il periodo è il celebre T = 2π√(L/g), che Galileo per primo notò indipendente dalla massa del peso e da quanto lo si fa oscillare. Con L = 1 m e g = 9,81 m/s² (Terra), T ≈ 2,006 s, il celebre «pendolo a secondi» che diede al metro la sua definizione originale (mezzo periodo = 1 s). Sulla Luna, con g = 1,62 m/s², lo stesso pendolo di 1 m impiega T ≈ 4,94 s; su Marte (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Oltre un'ampiezza di circa 15° l'approssimazione per piccoli angoli comincia a discostarsi ed entra un termine correttivo, ed è per questo che un vero orologio a pendolo usa un pendolo lungo e lento (bassa ampiezza) anziché uno corto e veloce. La massa del peso si cancella in √(g/L): pesi pesanti e leggeri sulla stessa corda mantengono periodi identici.

Ogni onda progressiva, che sia sonora, luminosa, d'acqua o sismica, obbedisce alla stessa relazione fondamentale: v = fλ — la velocità dell'onda è uguale a frequenza per lunghezza d'onda. Tre modalità qui risolvono qualunque incognita date le altre due. L'esempio (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) dà v = 343,2 m/s — esattamente la velocità del suono nell'aria a 20 °C. Tre velocità di riferimento fissano gli ordini di grandezza: suono nell'aria ~343 m/s, suono nell'acqua ~1480 m/s, luce nel vuoto c = 3×10⁸ m/s. Per passare l'onda da un mezzo a un altro si usa la legge di Snell (trattata nella pagina di ottica) per la rifrazione, ma all'interno di un unico mezzo omogeneo v è determinata dalle proprietà del mezzo (densità e rigidità per il suono, permittività e permeabilità per la luce).

L'effetto Doppler è il cambiamento della frequenza osservata quando sorgente e osservatore si muovono l'uno rispetto all'altro. La formula classica è f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): si usa il segno superiore al numeratore quando l'osservatore si avvicina alla sorgente (sente un tono più acuto), e il segno superiore al denominatore quando la sorgente si avvicina all'osservatore (sente comunque un tono più acuto). Esempio (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, sorgente ferma, osservatore che si avvicina alla sorgente a 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, uno spostamento di +87,46 Hz o +8,75%. La stessa sorgente da 30 m/s che si avvicina a un ascoltatore fermo dà la stessa risposta (la formula è simmetrica). Alle alte velocità la correzione relativistica diventa significativa; per un misuratore radar che rileva un'auto a 30 m/s il fattore γ differisce da 1 di appena ~5×10⁻¹⁵, ed è per questo che la formula classica basta per il suono, mentre la luce richiede la versione relativistica.

Un circuito LC (induttore L in parallelo con condensatore C) è l'analogo elettrico della massa su una molla: la carica svolge il ruolo dello spostamento, la corrente quello della velocità, l'induttanza L quello della massa e 1/C quello della rigidità della molla. La carica oscilla a ω = 1/√(LC), equivalentemente f = 1/(2π√(LC)). L'esempio (L = 100 mH, C = 10 μF) dà LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, quindi f ≈ 159,15 Hz con pulsazione ω ≈ 1000 rad/s e periodo T ≈ 6,28×10⁻³ s. I circuiti LC reali hanno anche una resistenza, che fa decadere l'oscillazione — la velocità di questo decadimento è ciò che un sintonizzatore radio AM minimizza per scegliere pulita una stazione. Applicando una sorgente pilotata esattamente a f si porta il circuito in risonanza, con ampiezze di tensione e corrente molto maggiori che fuori risonanza.

Quando due toni di frequenze leggermente diverse suonano insieme, la pressione dell'aria è la somma di due sinusoidi — che per trigonometria equivale a un coseno alla frequenza media f_p = (f₁ + f₂)/2 modulato da un inviluppo lento a f_battimento = |f₁ − f₂|. L'orecchio sente l'altezza media crescere e calare alla frequenza di battimento. Esempio (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) dà f_battimento = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, periodo di battimento = 0,2 s — una pulsazione chiaramente udibile 5 volte al secondo. Sotto ~10 Hz i battimenti si sentono come impulsi distinti; sopra ~30 Hz si fondono in una rugosità o in un tremolo. Gli accordatori di pianoforte lo sfruttano: colpiscono un diapason di riferimento e la corda da regolare, ascoltano i battimenti e girano il piolo finché scompaiono. Quando le corde sono perfettamente accordate f_battimento = 0 e il calcolatore riporta «Frequenze identiche — nessun battimento».

• Periodo e frequenza non sono la stessa cosa. T (secondi per ciclo) e f (cicli al secondo) sono reciproci. T = 1/f. Un'oscillazione di 0,5 Hz impiega 2 secondi per completare un ciclo.
• Il periodo del pendolo dipende solo debolmente dall'ampiezza. Il periodo esatto per un'ampiezza finita θ₀ è T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁴/…). Per 15° la correzione è dello 0,7%, per 30° circa l'1,7% — di solito ignorata nei problemi introduttivi.
• Lo spostamento Doppler è lo stesso che si muova la sorgente o l'osservatore. Che la sorgente si muova verso un osservatore fermo o che l'osservatore si muova verso una sorgente ferma alla stessa velocità, lo spostamento di altezza è identico (in regime non relativistico).
• Risonanza non significa massima ampiezza. La risonanza è la condizione ω_pilota = ω_naturale. Con lo smorzamento l'ampiezza di picco è inferiore al valore non smorzato; senza smorzamento l'ampiezza cresce senza limite (limitata solo dalla non linearità).

Strumenti collegati: Fisica moderna per le onde di de Broglie e la dualità onda-particella, Elettricità e circuiti per l'analisi in corrente alternata in cui si colloca la risonanza LC, e Ottica e luce per le onde elettromagnetiche.