Due leggi di conservazione fanno il lavoro pesante: la conservazione della massa dà la continuità (Q = A·v, A1v1 = A2v2), la conservazione dell'energia lungo una linea di flusso dà Bernoulli (P + ½ρv² + ρgh = costante). Tutto il resto — galleggiamento, pressione idrostatica, resistenza — è un caso particolare o una conseguenza.
Spinta di Archimede — peso spostato
Ogni corpo immerso in un fluido riceve una forza verso l'alto pari al peso del fluido che sposta: Fb = ρ·V·g, dove ρ è la densità del fluido, V il volume spostato e g l'accelerazione di gravità. L'esempio predefinito (ρ = 1000 kg/m³ acqua dolce, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) dà Fb ≈ 98,1 N — il peso di 10 kg d'acqua. Ecco perché un blocco di legno da 10 kg (densità 700 kg/m³) sta immerso a metà: metà del suo volume sposta metà del suo peso. Un corpo galleggia quando la sua densità media è minore di quella del fluido; affonda quando è maggiore; resta in sospensione quando è uguale. Per i gas vale la stessa relazione con ρ intorno a 1,2 kg/m³ al livello del mare, per cui un palloncino ad elio solleva solo circa 1 grammo per litro — il contrasto di densità è minuscolo.
Pressione idrostatica — peso della colonna
In un fluido in quiete la pressione cresce linearmente con la profondità: P = P0 + ρg·h, dove P0 è la pressione in superficie (atmosferica, 101325 Pa al livello del mare). L'esempio predefinito (20 m di acqua dolce) dà una pressione relativa ρgh = 196200 Pa e una pressione totale di 297525 Pa (circa 2,94 atm, 2,98 bar). La pressione dipende solo dalla profondità e dalla densità del fluido, non dalla forma del recipiente — il «paradosso idrostatico» — perché ogni elemento di fluido a profondità h ha la stessa colonna di peso sopra di sé. Principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido confinato si trasmette integralmente a ogni parte, ed è per questo che i sollevatori idraulici moltiplicano la forza: una piccola forza su un pistone piccolo crea la stessa pressione che spinge un pistone grande con una forza proporzionalmente grande.
Bernoulli — energia lungo una linea di flusso
Per un flusso stazionario, incomprimibile e non viscoso, l'energia per unità di volume si conserva lungo ogni linea di flusso: P + ½ρv² + ρgh = costante. L'esempio predefinito parte dalla pressione atmosferica, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, e arriva a v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — il pannello restituisce P2 ≈ 144375 Pa con una costante di circa 201425 Pa. La diminuzione di quota aggiunge pressione potenziale; l'aumento di velocità sottrae pressione statica. È il principio alla base del venturi (una strozzatura nel tubo accelera il flusso e fa calare la pressione), del carburatore (una gola nel canale dell'aria abbassa la pressione e aspira il carburante), dell'ala di un aereo (la superficie superiore accelera l'aria, abbassandone la pressione e generando portanza) e del tubo di Pitot (la differenza di pressione misura la velocità). Bernoulli non vale dove il flusso non è stazionario, non è incomprimibile o non è non viscoso — in particolare ad alti numeri di Reynolds, dove la turbolenza rende la pressione irregolare e la formula fa una media nel tempo. La portanza di un profilo alare è in gran parte la terza legge di Newton — deviare il flusso d'aria verso il basso — con la differenza di pressione di Bernoulli come contabilità, non come causa.
Portata — quanto al secondo
La portata volumetrica è Q = A·v, con A l'area della sezione trasversale e v la velocità media. L'esempio predefinito (A = 0,05 m², v = 3 m/s) dà Q = 0,15 m³/s = 150 L/s, ovvero 9 m³ al minuto. Per un flusso incomprimibile in un tubo a sezione variabile, la conservazione della massa impone A1·v1 = A2·v2: dimezzare la sezione raddoppia la velocità. È il motivo per cui un tubo da giardino con il pollice sull'apertura spruzza più lontano, e perché restringere un fiume nei rapidi crea acque bianche. La regola di continuità è locale in ogni istante; la velocità non «ricorda» le sezioni precedenti. Per flussi comprimibili (gasdotti, motori a reazione) l'invariante corretto è la portata di massa ρA·v, costante quando non si aggiunge né si toglie fluido.
Resistenza di Stokes — il lato laminare della resistenza dei fluidi
Per una sfera di raggio r che si muove a bassa velocità in un fluido di viscosità μ, la forza di resistenza è Fd = 6πμr·v. L'esempio predefinito (μ = 0,001 Pa·s acqua, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) dà Fd ≈ 9,42×10−5 N (circa 94 μN). La relazione è lineare in v perché a basso numero di Reynolds la scia è simmetrica e la viscosità domina; il lavoro che la sfera compie contro la resistenza si trasforma in riscaldamento viscoso del fluido. La resistenza di Stokes vale solo quando Re < 1 — per una sfera di 1 cm in acqua ciò significa velocità inferiori a circa 10−4 m/s. A velocità più alte il coefficiente di resistenza diventa circa costante e la forza scala con v² anziché con v. La legge di Stokes governa la sedimentazione della polvere nell'aria, il nuoto dei batteri e la caduta dei sedimenti fini nell'acqua.
Numero di Reynolds — ordine contro caos
Il rapporto adimensionale Re = ρvL/μ confronta le forze inerziali con quelle viscose. L'esempio predefinito (acqua, v = 1 m/s, L = 0,1 m) dà Re ≈ 100000, ben dentro il regime turbolento. In modo empirico: Re < ~2000 significa flusso laminare (liscio, prevedibile, linee di corrente parallele); Re > ~4000 significa turbolento (caotico, miscelante, con vortici); la fascia stretta in mezzo è di transizione. Il flusso sanguigno nell'aorta (Re ~ 4000) è al confine; nei capillari (Re ~ 0,001) è nettamente laminare e vale la resistenza di Stokes. L'aria sopra l'ala di un aereo è deliberatamente turbolenta per ritardare il distacco del flusso. Il numero di Reynolds spiega perché nei tubi esiste una «velocità critica» oltre la quale i costi di pompaggio salgono bruscamente, e perché il fumo di una candela sale come un pennacchio laminare liscio per qualche centimetro prima di spezzarsi in riccioli caotici.
Idee sbagliate comuni
- La spinta di Archimede deriva dal fondo che spinge verso l'alto. Deriva dall'integrale della pressione su tutta la superficie bagnata. La pressione è maggiore sul fondo, ma anche i contributi laterali sono diversi da zero, e la risultante è esattamente il peso del fluido spostato — per questo la geometria del recipiente non cambia il risultato.
- Le ali degli aerei sollevano perché la superficie superiore è più lunga e l'aria «deve raggiungere» il bordo. La portanza deriva da una differenza di pressione generata dalla circolazione e dalla forma dell'ala; l'uguaglianza dei tempi di transito è una derivazione popolare che dà per caso il risultato numerico giusto per la ragione sbagliata. Per le ali a bassa velocità il meccanismo dominante è la distribuzione di pressione, non alcun «accelerare sopra».
- La legge di Stokes vale a qualsiasi velocità. Solo quando Re < 1. Una sfera d'acciaio da 1 cm che cade in acqua raggiunge Re = 1 a pochi decimi di millimetro al secondo; oltre, la scia diventa asimmetrica e la resistenza sale verso un comportamento v². Stokes sottostima la resistenza per qualsiasi cosa somigli a una biglia.
- La pressione spinge sempre verso l'esterno dal fluido. Nel fluido in quiete la pressione è isotropa: spinge in ogni direzione allo stesso modo. La «spinta dal basso» su una superficie immersa è solo la componente verso il basso della stessa pressione che spinge lateralmente e verso l'alto su ogni centimetro quadrato.
Strumenti collegati: Meccanica per forza, lavoro ed energia; Termodinamica per il flusso comprimibile e la dinamica dei gas; e Convertitore di unità per passare tra Pa, bar, atm e psi.
