Ogni misura è un numero con un compagno onesto: quanto possiamo essere sicuri? Questo compagno ha due componenti — un errore casuale, che la ripetizione della misura attenua mediando, e un errore sistematico, una distorsione che persiste qualunque sia il numero di misure. Il resoconto onesto di una grandezza è quindi x ± u(x), con u ben definita; il simbolo ± è una scorciatoia per «approssimativamente questo intervallo con questa probabilità». I quattro calcolatori di questo pannello coprono gli strumenti di lavoro: il conteggio delle cifre significative (la scorciatoia contabile), la propagazione delle incertezze attraverso somme, differenze, prodotti, quozienti e potenze (il calcolo degli errori), la deviazione standard (quanto sono dispersi i dati) e l'incertezza combinata in stile GUM di più componenti indipendenti.
Due tipi di errore, due comportamenti opposti: l'errore casuale si riduce con la radice quadrata di N (σ/√N), quindi la media vince sempre; l'errore sistematico non si riduce affatto, ed è per questo che la taratura conta più della ripetizione. Una misura può avere un σ minuscolo ed essere comunque sbagliata a causa di una distorsione.
Cifre significative — la scorciatoia contabile
Una cifra significativa è una cifra conosciuta con sicurezza; gli zeri che riempiono un numero per convenzione di formato non lo sono. Cinque regole: (1) tutte le cifre non nulle sono significative, (2) gli zeri tra cifre non nulle sono significativi, (3) gli zeri iniziali non sono significativi (servono solo a posizionare la virgola), (4) gli zeri finali dopo la virgola sono significativi, (5) gli zeri finali senza virgola sono ambigui (si usi la notazione scientifica). Il valore predefinito 0,0070800 ha quindi 5 cifre significative (7, 0, 8, 0, 0) e si legge come (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Riportare 0,0070800 implica la stessa precisione che riportare 7,0800×10−3; riportare 0,00708 implica una precisione mille volte inferiore. La scorciatoia funziona per i resoconti dei libri di testo; per una misura reale l'incertezza u è il numero onesto, e le cifre significative sono un modo comodo per esprimerla senza scrivere ± ogni volta.
Propagazione degli errori — il calcolo degli errori
Per z = f(x, y), la regola per combinare incertezze indipendenti è σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Per le quattro operazioni di lavoro, questo si riduce a: addizione/sottrazione sommano in quadratura gli errori assoluti σz = √(σx² + σy²); moltiplicazione/divisione sommano in quadratura gli errori relativi σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); la potenza xn scala l'errore relativo per |n|: σz/z = |n|σx/x. L'esempio predefinito (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, addizione) dà z = 15 e σz ≈ 0,36, ovvero 15,00 ± 0,36 (circa il 2,4% relativo). Passando alla moltiplicazione con gli stessi dati si ottiene z = 50 ± 2,5 (5% relativo) — gli stessi valori ±, una regola di propagazione molto diversa, e l'incertezza relativa del prodotto è uguale alla somma in quadratura delle incertezze relative. Le incertezze assolute sono la valuta giusta per somme e differenze; le incertezze relative sono la valuta giusta per prodotti e quozienti.
Deviazione standard — dispersione dei dati
La deviazione standard σ è la deviazione quadratica media dalla media. Esistono due versioni a seconda di cosa rappresentano i dati: σ della popolazione = √(Σ(xi − x̄)² / n) descrive la dispersione di ogni membro di un insieme noto; s campionaria = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) stima la dispersione della popolazione più grande da cui è stato estratto il campione. L'esempio predefinito (10 valori tra 12,2 e 12,8 con media 12,5) dà σ della popolazione ≈ 0,1732, s campionaria ≈ 0,1826 e SEM = s/√N ≈ 0,0577. L'incertezza della media stessa è σ/√N (o s/√N per la versione campionaria), ed è per questo che fare la media di 25 misure di una grandezza riduce l'incertezza di un fattore 5 rispetto a una sola. La deviazione standard alimenta anche gli intervalli di confidenza: per una distribuzione normale, ±1σ contiene il 68,3%, ±2σ il 95,5%, ±3σ il 99,7%.
Incertezza estesa — combinare tutte le fonti
Quando una misura ha più fonti di errore indipendenti (risoluzione dello strumento, taratura, ripetibilità, deriva termica, effetto dell'operatore), l'incertezza combinata in stile GUM è uc = √(Σui²). Le fonti sono classificate di tipo A (statistiche, dai dati) e di tipo B (tutto il resto, con incertezze stimate per giudizio o dalle specifiche del costruttore); entrambe confluiscono in uc allo stesso modo. Un fattore di copertura k scala poi l'intervallo a una confidenza scelta: k = 1 per il 68,3%, k = 2 per il 95,5%, k = 2,58 per il 99,0%, k = 3 per il 99,7%. L'esempio predefinito (fonti 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) dà uc ≈ 0,1797 mm e U = k·uc ≈ 0,3595 mm al 95,5%. Il valore riportato diventa (misura ± 0,36) mm con quella confidenza. La GUM (ISO/IEC Guide 98-3) è lo standard internazionale per la procedura. Le componenti di tipo A derivano dalla statistica di letture ripetute, quelle di tipo B dalle specifiche dello strumento e dal giudizio — entrambe si combinano con la stessa somma in quadratura.
Idee sbagliate comuni
- Più cifre significative significano una misura più accurata. Solo se quelle cifre provengono davvero dalla misura. Una lunghezza scritta a mano come «12,34567 m» non è accurata a una parte su dieci milioni — le cifre significative servono a comunicare la precisione, non a inventarla. Riportare ± è più onesto che riempire con cifre inventate.
- L'errore sistematico si riduce mediando. Accade l'opposto: gli errori casuali si mediano come 1/√N, ma una distorsione sistematica (una bilancia mal tarata, uno zero decentrato) resta invariata qualunque sia il numero di misure. Identifichi e corregga la distorsione. È la trappola del «i dati sono così riproducibili!» in un esperimento difettoso.
- La deviazione standard dice l'errore di una singola misura. Caratterizza la dispersione della distribuzione, non l'errore di una singola prova. L'errore standard della media (s/√N) è la grandezza pertinente quando si riporta quanto si conosce x̄ da un campione di N.
- L'incertezza è sempre ± nell'ultima cifra. La convenzione standard è «arrotondare l'incertezza a una (talvolta due) cifre significative, poi arrotondare il valore di conseguenza». Una misura di 12,345678 ± 0,234 va riportata come 12,35 ± 0,23, non come 12,345678 ± 0,234.
Strumenti collegati: Statistica per le distribuzioni di probabilità sottostanti, Meccanica per gli allestimenti sperimentali che producono i numeri, e Calcolatrice per l'algebra della propagazione.
