Kalkulačka astrofyziky

Astrofyzika je časť fyziky, ktorá používa gravitáciu a pohyb ako pracovný jazyk všetkého od mesiaca po galaxiu. Šesť kalkulačiek na tomto paneli odpovedá na šesť opakujúcich sa otázok, ktoré možno položiť o akomkoľvek telese alebo trajektórii: akou rýchlosťou treba niečo hodiť, aby to opustilo systém? Akou rýchlosťou to obiehať? Ako dlho trvá obeh? Ako malo by sa rovnaké množstvo hmoty zrútiť, aby sa stalo čiernou dierou? Koľko delta-v získa raketa na jednotku palivovej frakcie? A aká ďaleko je galaxia, ktorej svetlo sa posúva do červena? Všetko ostatné — vzdialenosti merané paralaxou voči základni obežnej dráhy Zeme jednej astronomickej jednotky (AU = 1,496×10¹¹ m), magnitúdy ako logaritmické poradie jasu, červený posun z ≈ v/c ako nízkorýchlostná verzia Hubbleovho zákona — stojí na tej istej newtonovskej a relativistickej konštrukcii.

Každé teleso s hmotnosťou M a polomerom R vytvára potenciálnu studňu hĺbky GM/R na jednotku hmotnosti. Na vyliezť z povrchu treba kinetickú energiu aspoň rovnú tejto hĺbke, čo dáva únikovú rýchlosť. Dosadí sa Zem: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panel vráti v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, asi Mach 33). Mars má ≈ 5,03 km/s, Mesiac 2,38 km/s, Jupiter 60 km/s (kde vodík slabo slúži ako raketové palivo, ale matematika je rovnaká) a Slnko 618 km/s. Poznámka: vzorec predpokladá žiadny odpor atmosféry a žiadny ďalší pohon; skutočné číslo pre akúkoľvek raketu zahŕňa aerodynamické straty, gravitačný odpor počas stúpania a straty pri riadení. Je to aj rýchlosť z kľudu na povrchu; objekt, ktorý je už na obežnej dráhe, potrebuje menšie Δv na únik z svojej výšky, nikdy nie plnú hodnotu z povrchu. Rovnaké škálovanie určuje povrchovú váhu: na Marse (g = 3,71 m/s²) váži astronaut 70 kg 260 N — hmotnosť sa nemení, váha sleduje miestnu gravitáciu.

Stabilná kruhová obežná dráha vyrovnáva dostredivé zrýchlenie s gravitáciou: v_o = √(GM/r). Predvoľba Zeme v paneli pri r = 7×10⁶ m (asi 629 km výšky — územie ISS) dáva v_o ≈ 7 546 m/s a obežnú dobu 5 829 s (~1,62 hodiny). Skutočná ISS je vo výške ~408 km a obieha za ~92,7 minúty; výška v paneli je ilustračné číslo, nie letový poriadok. Vzťah dáva aj únik — vynásobením v_o číslom √2 sa získa v_e vo rovnakej výške. Obežná rýchlosť nezávisí od obiehajúcej hmoty; pierko a bojová loď na rovnakej dráhe sa pohybujú rovnakou rýchlosťou (vo vákuu), preto nebeská mechanika považuje družice za hmotné body.

T² = (4π²/GM) · a³ spája obežnú dobu s veľkou polosou. Predvolené nastavenie Slnko-Zem v paneli (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU podľa definície) dáva T ≈ 365,21 dňa, presne dĺžku roka. Riešenie opačným smerom — pri danej dobe v sekundách vypočítať a — je spôsob, akým astronómovia merajú veľkú polos ľubovoľnej družice, ktorej obežnú dobu dokážu odmerať. Rovnaká základňa 1 AU je aj definíciou parseku: hviezda, ktorá ukazuje posun paralaxy 1 oblúkovej sekundy voči pozadiu, keď Zem prejde 2 AU, je presne 1 parsek = 3,26 svetelného roka ďaleko — a 1 parsek = 206 265 AU. Kilometre a svetelné roky sa na medzihviezdnych mierkach stávajú nezvládnuteľné; pracovnými jednotkami sú parseky a AU.

Ak sa hmotnosť M stlačí pod jej Schwarzschildov polomer R_s = 2GM/c², žiadny signál zvnútra sa nemôže dostať von: ide o horizont nerotujúcej čiernej diery. Čísla sú pre bežné hmotnosti prekvapivo malé: R_s Zeme je asi 8,87 mm — menej než guľôčka; polomer Slnka je asi 2,95 km. Aby sa ktorékoľvek z nich zrútilo, bola by potrebná hustota, ktorú žiadny známy stav hmoty neposkytuje. Skutočné čierne diery vznikajú pri zániku hviezd, kde je 14,76 km pre pozostatok 5 M_⊙ (predvoľba „malá ČD“ v paneli) správny rád pre objekty typu Cygnus X-1, zatiaľ čo supermasívna čierna diera 4×10⁶ M_⊙ ako Sagittarius A* v strede našej galaxie má R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (asi 17 % obežnej dráhy Merkúra). Schwarzschildov polomer je súradnicová predpoveď všeobecnej relativity; skutočný horizont rotujúcej (Kerrovej) čiernej diery sa líši a môže byť menší.

Zákon zachovania hybnosti pre raketu vypúšťajúcu výfuk dozadu rýchlosťou v_e s pomerom hmotností m₀/m_f dáva Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Načítateľná ukážka panelu (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) dáva Δv ≈ 6 907,76 m/s pri pomere hmotností 10 a podiele paliva 90 %. Rovnica je krutá logaritmicky: zdvojnásobenie paliva pridá v_e·ln(2) Δv, nikdy ho nezdvojnásobí. Nízka obežná dráha Zeme potrebuje celkovo asi 9,4 km/s Δv; prechodová dráha ku geostacionárnej asi 11,5 km/s; prechod k Mesiacu asi 12,5 km/s — to je dôvod, prečo rakety majú stupne, prečo sú horné stupne malou časťou štartovnej hmotnosti a prečo zostáva jednostupňový štart na obežnú dráhu tvrdošijne ťažký.

Pozorovanie Edwina Hubblea z roku 1929, že galaxie sa vzďaľujú rýchlosťou úmernou vzdialenosti, dáva d = v/H₀. Pri H₀ = 70 km/s/Mpc v paneli leží galaxia s v = 1 000 km/s vo vzdialenosti d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ svetelných rokov. Pri blízkych galaxiách je rýchlosť ústupu malým zlomkom c, takže z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; lineárny Hubbleov zákon je potom špeciálnym prípadom kozmologického ústupu v expandujúcom vesmíre. Vzťah sa pri vysokom červenom posune (z > 0,1) láme, kde preberá úlohu úplný kozmologický model, preto info-box upozorňuje, že vzorec platí pre „relatívne blízke“ galaxie — rovnaké upozornenie platí pri použití v_e alebo v_o blízko rýchlosti svetla (relativistické korekcie majú význam). Hubbleov rebrík vzdialeností — paralaxa, premenné cefeidy, supernovy typu Ia, potom Hubbleov tok — kalibruje samotné H₀ a súčasné napätie medzi miestnymi a CMB odvodenými hodnotami H₀ zostáva jedným z otvorených problémov kozmológie.

• Úniková rýchlosť je štartovacia rýchlosť zo zeme. Je to rýchlosť z kľudu vo zadanom polomere bez ďalšieho pohonu; raketa stúpajúca pri konštantnom malom ťahu hodiny nemusí v nijakom okamihu dosiahnuť v_e.
• Čierne diery čosi nasávajú ako vákuum. Polomer horizontu určuje centrálna hmotnosť, nie objekt, ktorý sa „ťahá“. Pri r » R_s je gravitácia len Newtonova; až veľmi blízko horizontu sa stane nevyhnutnou. Slnko, keby bolo čiernou dierou rovnakej hmotnosti, by vôbec nezmenilo obežnú dráhu Zeme.
• Viac pohonnej hmoty znamená úmerne viac Δv. Ciolkovského vzťah je logaritmický: zdvojnásobenie pohonnej hmoty pridá v_e·ln(2), nezdvojnásobí delta-v. Ide o najdôležitejšie číslo v raketovom inžinierstve.
• Paralaxa meria veľkosť hviezd. Paralaxa meria vzdialenosť rovnakou geometrickou triangováciou, akú používajú geodeti — čím väčšia základňa, tým ďalej dosah. Základňa 2 AU z ročnej obežnej dráhy Zeme robí parseky prirodzenou jednotkou.

Súvisiace nástroje: Mechanika pre základnú kinematiku, Moderná fyzika pre relativistické efekty pri vysokých rýchlostiach a Kalkulačka pre algebraický aparát, ktorý poháňa vyššie uvedené vzorce.