Kalkulačka mechaniky tekutín

Každé teleso ponorené v tekutine pociťuje vztlakovú silu nahor rovnajúcu sa tiaži vytlačenej tekutiny: F_b = ρ·V·g, kde ρ je hustota kvapaliny, V vytlačený objem a g gravitačné zrýchlenie. Predvolená ukážka (ρ = 1000 kg/m³ sladká voda, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) dáva F_b ≈ 98,1 N — tiaž 10 kg vody. Presne preto drevená kocka 10 kg (hustota 700 kg/m³) pláva napoly ponorená: polovica jej objemu vytlačí polovicu svojej tiaže. Teleso pláva, keď je jeho priemerná hustota menšia než hustota kvapaliny; klesá, keď je väčšia; zostáva v rovnováhe pri rovnosti. Pri plynoch platí rovnaký vzťah s ρ okolo 1,2 kg/m³ pri hladine mora, preto hélium v balóne nadnáša len asi 1 gram na liter — kontrast hustôt je malý.

V kľudnej tekutine tlak rastie lineárne s hĺbkou: P = P₀ + ρg·h, kde P₀ je tlak na hladine (atmosférický, 101 325 Pa pri hladine mora). Predvolená ukážka (20 m sladkej vody) dáva pretlak ρgh = 196 200 Pa a celkový tlak 297 525 Pa (asi 2,94 atm, 2,98 bar). Tlak závisí len od hĺbky a hustoty kvapaliny, nie od tvaru nádoby — „hydrostatický paradox“ — lebo každý prvok tekutiny v hĺbke h má nad sebou rovnaký stĺpec tiaže. Pascalov zákon: zmena tlaku aplikovaná na uzavretú tekutinu sa prenesie nezmenšená do každej jej časti, preto hydraulické zdvíhadlá násobia silu: malá sila na malom piestu vytvorí rovnaký tlak, ktorý nadvihuje veľký piest s úmerne veľkou silou.

Pri ustálenom, nestlačiteľnom a neviskóznom prúdení sa energia na jednotku objemu zachováva pozdĺž každej prúdnice: P + ½ρv² + ρgh = konštanta. Predvolená ukážka začína pri atmosférickom tlaku, v₁ = 2 m/s, h₁ = 10 m a končí pri v₂ = 4 m/s, h₂ = 5 m — panel vráti P₂ ≈ 144 375 Pa s konštantou asi 201 425 Pa. Pokles výšky pridá potenciálny tlak; nárast rýchlosti odoberie statický tlak. Na tomto princípe pracuje venturiho trubica (zúženie v potrubí zrýchli prúd a zníži tlak), karburátor (hrdlo vo vzduchovom kanáli zníži tlak a nasaje palivo), krídlo lietadla (horný povrch zrýchli vzduch, zníži jeho tlak a krídlo nadnáša) a Pitotova trubica (rozdiel tlakov meria rýchlosť). Bernoulli zlyhá všade tam, kde prúd nie je ustálený, nestlačiteľný alebo neviskózny — najmä pri vysokých Reynoldsových číslach, kde turbulencia robí tlak hlučný a vzorec sa spriemeruje v čase. Vztlak krídla je väčšinou Newtonov tretí zákon — vychyľovanie prúdu vzduchu nadol — s Bernoulliho rozdielom tlakov ako účtovníctvom, nie príčinou.

Objemový prietok je Q = A·v, kde A je plocha prierezu a v stredná rýchlosť. Predvolená ukážka (A = 0,05 m², v = 3 m/s) dáva Q = 0,15 m³/s = 150 l/s, alebo 9 m³ za minútu. Pre nestlačiteľný prúd v potrubí s premenlivým prierezom zachovanie hmotnosti vynucuje A₁·v₁ = A₂·v₂: polovičný prierez znamená dvojnásobnú rýchlosť. Preto záhradná hadica s palcom na výstupe striekne ďalej a preto zúženie rieky v perejách robí biely hukot. Pravidlo kontinuity platí lokálne v každom okamihu; rýchlosť si „nepamätá“ predchádzajúce úseky. Pre stlačiteľný prúd (plynovody, prúdové motory) je správnou veličinou hmotnostný prietok ρA·v, ktorý je konštantný, keď sa tekutina nepridáva ani neodoberá.

Pre guľu s polomerom r pohybujúcu sa malou rýchlosťou v tekutine s viskozitou μ je odporová sila F_d = 6πμr·v. Predvolená ukážka (μ = 0,001 Pa·s voda, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) dáva F_d ≈ 9,42×10⁻⁵ N (asi 94 µN). Vzťah je lineárny v v, pretože pri nízkom Reynoldsovom čísle je úplav symetrický a dominuje viskozita; práca, ktorú guľa vykoná proti odporu, sa mení na viskózne zahrievanie tekutiny. Stokesov odpor platí len pre Re < 1 — pre guľu 1 cm vo vode to znamená rýchlosti pod asi 10⁻⁴ m/s. Pri vyšších rýchlostiach je koeficient odporu zhruba konštantný a sila sa škáluje ako v², nie v. Stokesov odpor riadi usadzovanie prachu vo vzduchu, plávanie baktérií a klesanie jemných sedimentov vo vode.

Bezrozmerný pomer Re = ρvL/μ porovnáva zotrvačné sily s viskóznymi. Predvolená ukážka (voda, v = 1 m/s, L = 0,1 m) dáva Re ≈ 100 000, hlboko v turbulentnom režime. Empiricky: Re < ~2 000 znamená laminárny prúd (hladký, predvídateľný, rovnobežné prúdnice); Re > ~4 000 znamená turbulentný (chaotický, miešanie, víry); úzke pásmo medzi tým je prechodové. Prietok krvi v aorte (Re ~ 4 000) je na hranici; v kapilárach (Re ~ 0,001) je pevne laminárny a platí Stokesov odpor. Vzduch nad krídlom lietadla je zámerne turbulentný, aby sa oddialilo odtrhnutie prúdu. Reynoldsovo číslo je dôvod, prečo potrubia majú „kritickú rýchlosť“, nad ktorou náklady na čerpanie skokovo stúpnu, a prečo dym zo sviečky stúpa niekoľko centimetrov ako hladký laminárny stĺpec, kým sa nerozpadne na chaotické špirály.

• Archimedova sila vzniká tým, že dno tlačí nahor. Vzniká ako integrál tlaku cez celý zmáčaný povrch. Tlak je na dne vyšší, ale príspevky z bočných stien sú tiež nenulové a výsledok je presne tiaž vytlačenej kvapaliny — preto geometria nádoby nemení výsledok.
• Krídla lietadla nadnášajú, lebo horný povrch je dlhší a vzduch „musí doťahovať“. Vztlak vzniká rozdielom tlakov, ktorý vytvára cirkulácia a tvar krídla; rovnaký čas prechodu je ľudové odvodenie, ktoré náhodou dáva správne číslo z nesprávneho dôvodu. Pri krídlach pri nízkej rýchlosti je dominantným mechanizmom rozloženie tlaku, nie nejaké „zrýchlenie nad vrchnou stranou“.
• Stokesov zákon platí pri akejkoľvek rýchlosti. Len keď Re < 1. Oceľová guľa s priemerom 1 cm padajúca vo vode dosiahne Re = 1 pri niekoľkých desatinách milimetra za sekundu; nad tým sa úplav stáva nesymetrickým a odpor rastie k správaniu v². Stokes podhodnocuje odpor pri všetkom, čo pripomína guľôčku.
• Tlak vždy tlačí od kvapaliny von. V kľudnej tekutine je tlak izotropný: tlačí rovnako vo všetkých smeroch. „Tlak zdola“ na ponorený povrch je len zvislou zložkou toho istého tlaku, ktorý tlačí do strán a nahor na každý štvorcový centimeter.

Súvisiace nástroje: Mechanika pre silu, prácu a energiu, Termodynamika pre stlačiteľný prúd a dynamiku plynov a Prevodník jednotiek na prepínanie medzi Pa, bar, atm a psi.