Štyri zachované veličiny odvedú ťažkú prácu: hybnosť (p = mv), keď nepôsobí žiadna vonkajšia sila; mechanická energia (KE + PE), keď pôsobia len konzervatívne sily; moment hybnosti, keď nepôsobí žiadny vonkajší moment; hmotnosť pri bežných (nie jadrových) interakciách. Spolu vyriešia takmer každú úlohu z učebnice.
Šikmý vrh — parabolický let
Keď sa čokoľvek vystrelí s počiatočnou rýchlosťou v0 pod uhlom θ nad vodorovnou rovinou a odpor vzduchu sa zanedbá, dráha je parabola. Vodorovný a zvislý pohyb sú nezávislé: x(t) = v0 cosθ · t (konštantná vodorovná rýchlosť) a y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (rovnomerne zrýchlený zvislý pád). Z tejto kinematiky plynú tri súhrnné výsledky: dolet R = v0² sin(2θ) / g, maximálna výška H = v0² sin²(θ) / (2g), doba letu T = 2v0 sinθ / g (pri výstrele zo zeme). Predvolená ukážka (v0 = 20 m/s, θ = 45°, g Zeme = 9,81 m/s²) dáva vx = vy = 14,142 m/s, R = 40,775 m, H = 10,194 m a T = 2,883 s. Uhol 45° dáva maximálny dolet na rovine pri danej rýchlosti a na Mesiaci dosiahne rovnaký výstrel R = 246,91 m, lebo gravitácia je šesťkrát slabšia.
Voľný pád — tri ekvivalentné kinematické tvary
Teleso pustené z kľudu padá pri konštantnej gravitácii podľa troch vzájomne zameniteľných vzťahov: v = gt (okamžitá rýchlosť v čase t), h = ½g t² (prejdená dráha z kľudu po čase t) a v = √(2gh) (rýchlosť po prejdení dráhy h). Každý je osobitným prípadom kinematických rovníc a dá sa na ostatné previesť dosadením. Predvolená ukážka (h = 100 m, Zem) dáva t = 4,515 s, v = 44,294 m/s a v = 159,46 km/h — zhruba koncová rýchlosť parašutistu v stabilnej polohe. Po prepnutí na režim z času dáva 3-sekundový pád d = 44,145 m a v = 29,43 m/s (asi 105,95 km/h). Rovnaký pád na Mesiaci trvá t = 11,11 s a dosiahne len 17,97 m/s — ten istý pád, šesťkrát pomalší.
Naklonená rovina — gravitácia rozložená na zložky
Teleso s hmotnosťou m na svahu so uhlom θ cíti gravitáciu W = mg zvisle nadol, ale zrýchľuje ho len zložka pozdĺž povrchu; zložka do povrchu je vyrušená normálovou silou. Rozklad je geometria: Frovnobežná = mg sinθ, normálová N = mg cosθ. Trenie pridá odporovú silu f = μN = μmg cosθ proti pohybu; koeficient šmykového trenia μ sa pohybuje od asi 0,04 (oceľ na ľade) po 0,8 (guma na gume). Výsledná sila nadol po svahu je Fnet = mg sinθ − μmg cosθ, čo dáva zrýchlenie a = g(sinθ − μ cosθ). Predvolená ukážka (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 m/s²) dáva W = 98,1 N, N = 84,957 N, Frovnobežná = 49,05 N, f = 16,991 N, Fnet = 32,059 N a a = 3,206 m/s². Teleso skĺzne nadol, lebo rovnobežná zložka prevyšuje trenie. Ak sa μ zvýši na 0,6, výsledná sila sa stane záporná — teleso zostane stáť (alebo sa vráti nahor, ak sa do neho zatlačí); trenie vyhralo. Uhol, pri ktorom sa teleso s trením začne šmýkať, je arctan(μ), uhol trenia; pod ním drží teleso statické trenie.
Newtonov 2. zákon — F = m · a, tri režimy výpočtu
Newtonov 2. zákon v skalárnom tvare je F = m · a: výsledná sila na teleso sa rovná jeho hmotnosti násobenej zrýchlením. Predvolená hodnota (hmotnosť 10 kg, zrýchlenie 5 m/s²) dáva F = 50 N. Po prepnutí v rozbaľovacom zozname panel vypočíta hmotnosť (m = F / a), zrýchlenie (a = F / m) alebo tiaž (W = m · g, so zemskou gravitáciou 9,81 m/s²). Osoba 70 kg má W = 686,7 N na Zemi a W = 113,4 N na Mesiaci — tá istá osoba, tá istá hmotnosť, ale šesťnásobný rozdiel tiaže, lebo gravitácia je šesťkrát slabšia. Tiaž je sila (newtony); hmotnosť je množstvo hmoty (kilogramy).
Hybnosť a impulz — dva zákony zachovania
Teleso v pohybe nesie hybnosť p = mv, vektor v smere rýchlosti. Na zmenu hybnosti telesa treba impulz J = FΔt = Δp, rovný sile pôsobiacej počas času pôsobenia. Predvolená ukážka (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0,5 s) dáva p = 30 kg·m/s, KE = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12,5 m/s a konečnú rýchlosť vfinal = 27,5 m/s, ak bol impulz aplikovaný v smere pohybu. Rovnaký impulz dodaný menšou silou na dlhší čas („mäkké“ zachytenie) alebo väčšou silou na kratší čas („tvrdá“ zrážka) dáva rovnakú zmenu hybnosti. V uzavretom systéme bez vonkajších síl sa celková hybnosť zachováva: 2 kg teleso pri 15 m/s, ktoré zasiahne stojace 1 kg teleso, skončí s v1' = 5 m/s a v2' = 20 m/s (dokonale pružne) alebo sa obe dohodnú na spoločnej rýchlosti v = 10 m/s (dokonale nepružne). Toto účtovníctvo je základom každej analýzy zrážok od biliardy po protónové zväzky.
Práca, energia a výkon — zachovaná evidencia
Keď sila posunie teleso o dráhu, koná prácu W = F · d (skalárny súčin ju robí presnou aj pre sily mimo osi: počíta sa len zložka F pozdĺž d). Energia, ktorú má teleso vďaka svojmu pohybu, je kinetická energia KE = ½mv²; energia, ktorú má vďaka svojej polohe v gravitačnom poli, je potenciálna energia PE = mgh. Celková mechanická energia E = ½mv² + mgh sa zachováva, keď pôsobí len gravitácia (bez trenia, bez pôsobiacich síl) — preto sa kyvadlo vždy vychýli do rovnakej výšky a preto sa loptička hodená nahor vráti pri páde rovnakou rýchlosťou. Výkon P = W / t meria rýchlosť, ktorou sa koná práca. Predvolená ukážka (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9,81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) dáva KE = 250 J, PE = 981 J, celková mechanická energia = 1231 J, W = 200 J, P = 100 W a P = 0,1341 hp.
Časté omyly
- Ťažšie telesá padajú rýchlejšie než ľahšie. Vo vákuu platí opak: každé teleso sa zrýchľuje rovnakým g bez ohľadu na hmotnosť. Odpor vzduchu zlomí zhodu, lebo závisí od prierezu, nie od hmotnosti — pero a kladivo pustené spolu na Zemi dopadnú v rôznom čase, ale na Mesiaci (bez vzduchu) dopadnú súčasne, ako to predviedli naživo pri Apollo 15.
- Sila a rýchlosť nie sú to isté. Sila spôsobuje zrýchlenie (F = ma); rýchlosť je to, čo dostaneme z trvalej sily. Zastavené auto má na kolesách silu, ale nulovú rýchlosť; hokejový puk kĺže po bezotrechovom ľade konštantnou rýchlosťou pri nulovej výslednej sile.
- Hybnosť a kinetická energia sú to isté. Obe sú nulové v kľude, ale škálujú sa inak. Zdvojnásobenie rýchlosti zdvojnásobí hybnosť (p = mv), ale štvornásobí kinetickú energiu (KE = ½mv²). Kamión 2 t pri 60 mph má rovnakú hybnosť ako auto 1 t pri 120 mph, ale 1 t auto má dvojnásobnú kinetickú energiu.
- „g“ je sila. g je gravitačné zrýchlenie (m/s²). Sila gravitácie na teleso je W = mg. Hmotnosť 1 kg váži na Zemi 9,81 N; na Mesiaci váži 1,62 N, pretože g je šesťkrát menšie.
Súvisiace nástroje: Vektorová kalkulačka na rozklad síl a rýchlostí na zložky, Elektrina & obvody pre elektromagnetický kontext, Vlny & oscilácie pre kmitavé príbuzné šikmého vrhu, Rotácia & krútiaci moment pre rotačný náprotivok priamočiareho pohybu a Termodynamika & teplo pre energetickú stránku mechaniky.
