Každé meranie je číslo s poctivým sprievodcom: ako istí môžeme byť? Tento sprievodca má dve zložky — náhodnú chybu, ktorú opakovanie merania priemeruje, a systematickú chybu, skreslenie, ktoré pretrváva bez ohľadu na to, koľkokrát sa meria. Poctivé uvedenie ľubovoľnej veličiny je preto x ± u(x), kde u je presne definovaná neistota; symbol ± je skratka pre „približne tento rozsah s touto pravdepodobnosťou“. Štyri kalkulačky na tomto paneli pokrývajú pracovné nástroje: počítanie platných cifier (skratka pre účtovanie), šírenie neistôt cez súčty, rozdiely, súčiny, podiely a mocniny (matematika chýb), smerodajnú odchýlku (ako rozptýlené sú údaje) a kombinovanú neistotu v štýle GUM pre viacero nezávislých zložiek.
Dva druhy chýb, dva opačné správania: náhodná chyba klesá s odmocninou z N (σ/√N), takže priemerovanie vždy pomáha; systematická chyba sa vôbec nezmenšuje, a preto je kalibrácia dôležitejšia než opakovanie. Meranie môže mať malé σ a stále byť nesprávne kvôli skresleniu (bias).
Platné cifry — skratka pre účtovanie
Platná cifra je číslica, ktorej hodnota je istá; nuly, ktoré dopĺňajú číslo na konvenčnú veľkosť, nie sú. Päť pravidiel: (1) všetky nenulové číslice sú platné, (2) nuly medzi nenulovými sú platné, (3) úvodné nuly nie sú platné (len umiestňujú desatinnú čiarku), (4) koncové nuly za desatinnou čiarkou sú platné, (5) koncové nuly bez desatinnej čiarky sú nejednoznačné (použije sa vedecký zápis). Predvolená hodnota 0,0070800 má teda 5 platných cifier (7, 0, 8, 0, 0) a číta sa ako (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Uvedenie 0,0070800 implikuje rovnakú presnosť ako uvedenie 7,0800×10−3; uvedenie 0,00708 implikuje tisícnásobne menšiu presnosť. Skratka funguje pri učebnicových protokoloch; pri skutočnom meraní je poctivým číslom neistota u a platné cifry sú pohodlný spôsob, ako ju vyjadriť bez písania ± pri každej hodnote.
Šírenie chyby — matematika chýb
Pre z = f(x, y) sa kombinovanie nezávislých neistôt riadi vzťahom σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Pre štyri pracovné operácie to vedie k: sčítaniu/odčítaniu — absolútne chyby sa skladajú kvadraticky, σz = √(σx² + σy²); násobeniu/deleniu — relatívne chyby sa skladajú kvadraticky, σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); mocnine xn — relatívna chyba sa škáluje faktorom |n|: σz/z = |n|σx/x. Predvolená ukážka (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, sčítanie) dáva z = 15 a σz ≈ 0,36, teda 15,00 ± 0,36 (asi 2,4 % relatívne). Pri prepnutí na násobenie s rovnakými vstupmi vychádza z = 50 ± 2,5 (5 % relatívne) — rovnaké hodnoty ±, ale veľmi odlišné pravidlo šírenia; relatívna neistota súčinu sa rovná kvadratickému súčtu relatívnych neistôt. Absolútne neistoty sú správna mena pre súčty a rozdiely; relatívne neistoty sú správna mena pre súčiny a podiely.
Smerodajná odchýlka — rozptyl údajov
Smerodajná odchýlka σ je odmocnina zo strednej kvadratickej odchýlky od priemeru. Existujú dve verzie v závislosti od toho, čo údaje predstavujú: populačná σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) opisuje rozptyl každého člena známej množiny; výberová s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) odhaduje rozptyl väčšej populácie, z ktorej bola vzorka odobratá. Predvolená ukážka (10 hodnôt od 12,2 do 12,8 s priemerom 12,5) dáva populačnú σ ≈ 0,1732, výberovú s ≈ 0,1826 a SEM = s/√N ≈ 0,0577. Neistota samotného priemeru je σ/√N (alebo s/√N pre výberovú verziu), a preto priemerovanie 25 meraní jednej veličiny zníži neistotu päťnásobne v porovnaní s jedným meraním. Smerodajná odchýlka sa uplatňuje aj v intervaloch spoľahlivosti: pri normálnom rozdelení obsahuje ±1σ 68,3 %, ±2σ 95,5 %, ±3σ 99,7 %.
Rozšírená neistota — spojenie všetkých zdrojov
Keď má meranie viacero nezávislých zdrojov chyby (rozlíšenie prístroja, kalibrácia, opakovateľnosť, drift teploty, vplyv obsluhy), kombinovaná neistota v štýle GUM je uc = √(Σui²). Zdroje sa klasifikujú ako typ A (štatistické, z údajov) a typ B (všetko ostatné, s neistotami odhadnutými úsudkom alebo podľa špecifikácie výrobcu); obidva sa do uc započítavajú rovnako. Koeficient rozšírenia k potom škáluje interval na zvolenú spoľahlivosť: k = 1 pre 68,3 %, k = 2 pre 95,5 %, k = 2,58 pre 99,0 %, k = 3 pre 99,7 %. Predvolená ukážka (zdroje 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm; k = 2) dáva uc ≈ 0,1797 mm a U = k·uc ≈ 0,3595 mm pri 95,5 %. Uvedená hodnota sa stáva (výsledok merania ± 0,36) mm pri tejto spoľahlivosti. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) je medzinárodná norma pre tento postup. Zložky typu A pochádzajú zo štatistiky opakovaných odčítaní, typu B z technických údajov prístrojov a úsudku — obe sa skladajú cez ten istý kvadratický súčet.
Časté omyly
- Viac platných cifier znamená presnejšie meranie. Len vtedy, ak tie cifry skutočne pochádzajú z merania. Dĺžka „12,34567 m“ zapísaná ručne nie je presná na jednu časť z desiatich miliónov — platné cifry sú spôsob vyjadrenia presnosti, nie spôsob jej vytvorenia. Uvádzať ± je poctivejšie než dopĺňať vymyslené cifry.
- Systematickú chybu možno znížiť priemerovaním. Opak je pravda: náhodné chyby sa priemerovaním znižujú úmerne 1/√N, no systematické skreslenie (nekalibrovaná váha, necentrovaná nula) zostáva rovnaké bez ohľadu na to, koľko meraní sa urobí. Skreslenie sa treba identifikovať a odstrániť, nie priemerovať. Toto je pasca „údaje vyzerajú tak reprodukovateľne!“ v pokazenom experimente.
- Smerodajná odchýlka hovorí o chybe jedného merania. Charakterizuje rozptyl rozdelenia, nie chybu žiadneho jednotlivého pokusu. Pri uvádzaní toho, ako presne sa pozná x̄ zo vzorky s N prvkami, je relevantná štandardná chyba priemeru (s/√N).
- Neistota je vždy ± v poslednej cifre. Štandardná konvencia je „zaokrúhliť neistotu na jednu (niekedy dve) platné cifry a potom zaokrúhliť hodnotu tak, aby jej zodpovedala“. Meranie 12,345678 ± 0,234 sa má uviesť ako 12,35 ± 0,23, nie ako 12,345678 ± 0,234.
Súvisiace nástroje: Štatistika pre základné pravdepodobnostné rozdelenia, Mechanika pre experimentálne zostavy, ktoré čísla produkujú, a Kalkulačka pre algebru šírenia.
