Fyzikálne simulácie

Lopta vypustená počiatočnou rýchlosťou v₀ pod uhlom θ z výšky h₀ sleduje parametrické rovnice x(t) = v₀ cosθ · t a y(t) = h₀ + v₀ sinθ · t − ½g t². Plátno vykresľuje dráhu, kým lopta letí, a uvádza konečný dolet, dobu letu a maximálnu výšku. Predvolená ukážka (v₀ = 25 m/s, θ = 45°, h₀ = 0, g Zeme = 9,81 m/s²) dáva dobu letu ≈ 3,604 s, dolet ≈ 63,70 m a maximálnu výšku ≈ 15,929 m. Po prepnutí na predvoľbu Mesiac (g = 1,62) rovnaký výstrel dosiahne ≈ 385,8 m za ≈ 21,82 s — rovnaká parabola, šesťkrát dlhšia a ďalej, presne to, čo robí športy na Mesiaci také absurdné a čo astronaut Alan Shepard využil so svojou provizórnou šesťkou. Plátno prekreslí dráhu s červenou bodkou, ktorá sleduje polohu lopty, a označí dolet a maximálnu výšku priamo na diagrame.

Jednoduché kyvadlo s dĺžkou L pustené z uhla θ spĺňa θ″(t) = −(g/L) sinθ, tu integrované semi-implicitnou Eulerovou metódou. Pri malých amplitúdach (sinθ ≈ θ) je pohyb harmonický s periódou T = 2π√(L/g); predvolená dĺžka L = 1,5 m na Zemi dáva T ≈ 2,458 s. Pri väčších amplitúdach perióda mierne rastie, pretože sinθ už nie je dobrá lineárna aproximácia — výkyv o 60° je asi o 7 % pomalší než výkyv o 5° pri rovnakej dĺžke. Dvojité kyvadlo je iná téma: dva tuhé články s hmotnosťami v kĺboch, riadené spriahnutými nelineárnymi rovnicami, integrované rovnakou metódou, no vykazujúce chaos. Nepatrné rozdiely v začiatočnom uhle vedú v priebehu niekoľkých cyklov k výrazne odlišným dráham — príznak deterministického chaosu, preto sú dvojité kyvadlá učebnicovým príkladom chaotického mechanického systému. Po prepnutí z „Jednoduché“ na „Dvojité“ v rozbaľovacom zozname sa objaví druhé rameno s začiatočným uhlom θ₂; po stlačení Štart sa sleduje, ako sa vzor kmitania nepredvídateľne rozchádza. Jednoduchá simulácia kyvadla tlmí aj každý snímok (koeficient 0,9995), podobne ako skutočné kyvadlo stráca energiu odporom vzduchu a trením v závesu.

Dva bodové zdroje vysielajú kruhové vlny s rovnakou vlnovou dĺžkou λ; v každom bode roviny je výsledné rušenie súčtom oboch. Kde dva hrebene prichádzajú vo fáze, amplitúda sa zdvojnásobí (konštruktívna interferencia); kde sa hrebeň z jedného zdroja stretne s dolinou z druhého, navzájom sa vyrušia (deštruktívna interferencia). Podmienka konštruktívnej interferencie je r₁ − r₂ = mλ pre celé m; pre deštruktívnu je r₁ − r₂ = (m + ½)λ. Plátno vykreslí mapu intenzity (svetlé = veľká amplitúda, tmavé = vyrušenie) a prekryje uzlové čiary, kde r₁ − r₂ = mλ (s voliteľnou prerušovanou čiarou). Predvolený odstup (120 px = 3λ) zobrazuje zreteľné striedajúce sa svetlé a tmavé pásy pozdĺž kolmej osi — rovnaký vzor, ktorý vytvára svetlé a tmavé prúžky v Youngovom experimente s dvojitou štrbinou a farebné pásy svetla odrazeného od olejovej vrstvy.

Elektrické pole okolo bodového náboja Q je radiálny vektor s veľkosťou E = kQ/r²; pre dva náboje je pole v ľubovoľnom bode vektorovým súčtom E_celkové = E₁ + E₂. Plátno vykreslí 16 siločiar z oblasti zdrojov metódou Eulerovho kroku o veľkosti 4 px v smere lokálneho poľa. Siločiary vychádzajú z kladných nábojov (Q > 0) a končia na záporných (Q < 0); v predvolenej ukážke (Q₁ = +5, Q₂ = −3, pričom |Q₁·Q₂| = 15) vidno, ako čiary vychádzajú z červeného náboja + vľavo, zakrivujú sa smerom von a väčšina z nich končí na modrom náboji − vpravo, pričom niekoľko sa uniká do nekonečna (lebo veľkosti nie sú rovnaké). Hustota siločiar je úmerná sile poľa: husto zoskupené čiary znamenajú silné pole, redké slabé. Obrátenie oboch znamienok obráti smery čiar bez zmeny geometrie.

Keď na predmet pôsobí viac síl, výslednica je ich vektorový súčet, nie skalárny. Metóda mnohouholníka (alebo hlava–chvost) umiestni každý silový vektor začiatkom na koniec predchádzajúceho, začínajúc od počiatku; výslednica R je vektor od počiatku ku konečnému hrotu. Po zložkách: R_x = ΣF_i cosθ_i, R_y = ΣF_i sinθ_i, |R| = √(R_x² + R_y²) a θ_R = arctan(R_y/R_x). Plátno kreslí každú silu ako farebnú šípku (F1 červená, F2 modrá, F3 zelená) od počiatku, potom prerušovanú fialovú čiaru od počiatku ku konečnému hrotu znázorňujúcu výslednicu a k tomu svetlosivé lomené čiary sledujúce dráhu hlava–chvost. Predvolená ukážka (F1 = 30 N pod 0°, F2 = 25 N pod 60°, F3 = 15 N pod 150°) dáva R_x ≈ 29,51 N, R_y ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N a θ_R ≈ 44,65° — veľkosť väčšia než ktorákoľvek jednotlivá vstupná sila, lebo smery sa čiastočne posilňujú.

• Plátno zobrazuje skutočnú fyziku, nie náčrt. Každý snímok sa počíta zo základnej rovnice (Eulerova integrácia pre kyvadlá, superpozícia pre vlny, vektorový súčet pre sily). Zmenou vstupov sa mení aj matematika; animácia je priama numerická vizualizácia.
• Perióda kyvadla závisí od jeho amplitúdy. Pri malých amplitúdach (menej než ~15°) je perióda takmer nezávislá od amplitúdy a rovná sa T = 2π√(L/g). Pri väčších amplitúdach perióda výrazne rastie — kyvadlo s výkyvom 90° trvá asi o 18 % dlhšie, než predpovedá vzorec pre malé uhly. „Sekundové kyvadlo“ stojacich hodín je navrhnuté na malý výkyv práve preto, aby jeho perióda ostala stála.
• Siločiary elektrického poľa sú skutočné. Ide o vizualizáciu poľa, nie o fyzikálne šnúry. Skutočné elektrické pole je vektor v každom bode priestoru; čiary len spájajú body, v ktorých je pole spojite dotyčnicové. Siločiaru nemožno „uchopiť“.
• Metódy mnohouholníka a rovnobežníka dávajú rôzne výsledky. Dávajú rovnakú výslednicu. Metóda rovnobežníka funguje pre dve sily; metóda mnohouholníka sa prirodzene rozširuje na ľubovoľný počet. Obe sú rovnocenné využitia sčítania vektorov.

Súvisiace nástroje: Mechanika pre číselné kinematické vzorce, Kalkulačka vektorov pre rozklad na zložky a skalárny a vektorový súčin, Vlny a kmitanie pre úplné rovnice postupnej vlny, Elektrina a obvody pre prúdové a napäťové náprotivky a Optika a svetlo pre optickú verziu interferencie vĺn (Youngov experiment s dvojitou štrbinou).