Kalkulačka rotácie a krútiaceho momentu

Rotácia je kinematika a dynamika telies, ktoré sa otáčajú — kolies, ozubených kolies, planét, molekúl, hurikánov. Účtovanie sa takmer riadok po riadku zhoduje s lineárnou verziou: lineárny posun sa mení na uhlový posun θ (radiány), lineárna rýchlosť na uhlovú rýchlosť ω (rad/s), lineárne zrýchlenie na uhlové zrýchlenie α (rad/s²), hmotnosť na moment zotrvačnosti I (kg·m²) a sila na krútiaci moment τ (N·m). Druhý Newtonov zákon nadobúda rotačný tvar τ = I·α a moment hybnosti L = I·ω sa zachováva bez vonkajšieho krútiaceho momentu, presne ako sa lineárna hybnosť zachováva bez vonkajšej sily. Šesť kalkulačiek na tomto paneli pokrýva pracovné vzorce: dostredivú silu pri krúživom pohybe, prevod jednotiek uhlovej rýchlosti, krútiaci moment, moment zotrvačnosti pre bežné tvary, moment hybnosti s rotačnou kinetickou energiou a odstredivú zdanlivú silu v rotujúcich vzťažných sústavách.

Každý predmet pohybujúci sa po kružnici mení smer, a to je zrýchlenie, ktoré vyžaduje silu — namierenú do stredu. Veľkosť je F = mv²/r = mω²r. Predvolená ukážka (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) dáva F = 50 N a dostredivé zrýchlenie 50 m/s² (≈ 5 g) pri uhlovej rýchlosti 5 rad/s (≈ 47,75 RPM). Sila je skutočná — pri guľôčke na šnúre ide o napätie šnúry; pri aute v zákrute o trenie medzi pneumatikami a vozovkou; pri obiehajúcom satelite o gravitáciu. Keď sa sila odstráni (šnúra praskne, pneumatiky stratia záber), predmet odletí po dotyčnici, nie radiálne smerom von: pocit tlaku smerom von, ktorý sa zažíva v zatáčajúcom aute, je odstredivá zdanlivá sila v rotujúcej vzťažnej sústave, nie dostredivá sila v inerciálnej sústave.

Ten istý rotujúci predmet možno opísať v otáčkach za minútu (RPM), v radiánoch za sekundu (rad/s, jednotka SI), v otáčkach za sekundu (Hz) alebo v stupňoch za sekundu. Predvolená ukážka (1 200 RPM) dáva ω ≈ 125,66 rad/s, 7 200 deg/s alebo 20 Hz, s periódou 0,05 s na otáčku. Vzťahy: ω = 2πf = 2π n/60, kde n je RPM; faktor 2π prevádza otáčky na radiány a 60 prevádza minúty na sekundy. Tieto prevody sú pre učebnicové úlohy menej dôležité než pri motoroch, kde je údajom na ciferníku RPM a pracovným výstupom krútiaci moment (v N·m).

Krútiaci moment je rotačný analóg sily: τ = r·F·sinθ, kde r je dĺžka ramena páky, F je pôsobiaca sila a θ je uhol medzi nimi. Predvolená ukážka (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) dáva τ = 15 N·m. Činiteľ sinθ znamená, že sila je najúčinnejšia pri 90° (kolmo na páku); sila pôsobiaca pozdĺž páky (θ = 0 alebo 180°) nevyvolá žiadny krútiaci moment, bez ohľadu na jej veľkosť. Preto sa skrutka najľahšie otáča, keď sa tlačí kolmo na rukoväť, a dlhšia rukoväť dáva pri rovnakej sile väčší krútiaci moment — čo je aj dôvod, prečo sú kľúče, kľučky a volanty väčšie než hriadele, ktoré otáčajú.

Moment zotrvačnosti je rotačný analóg hmotnosti a závisí od toho, ako je hmotnosť rozložená okolo osi. Pre plnú guľu s hmotnosťou m a polomerom R platí I = (2/5)mR²; pre plný valec alebo kotúč okolo centrálnej osi I = (1/2)mR²; pre tenký prstenec alebo obruč I = mR²; pre rovnomernú tyč okolo jej stredu I = (1/12)mL². Predvolená ukážka (plná guľa, m = 2 kg, R = 1 m) dáva I = 0,8 kg·m². Praktický dôsledok je, že obruč sa ťažšie roztáča než kotúč rovnakej hmotnosti a polomeru (celá hmotnosť je na obvode) a dutá guľa sa ťažšie roztáča než plná. Čím ďalej je hmotnosť od osi, tým väčší I — preto krasokorčuliar, ktorý pritiahne ruky, zrýchli: I sa zmenší, ω sa zväčší a L = Iω zostane konštantný.

Moment hybnosti je L = Iω, v kg·m²/s; rotačná kinetická energia je KE = ½Iω². Predvolená ukážka (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) dáva L = 50 kg·m²/s a KE = 250 J. Zákon zachovania je rovnaký ako pri lineárnej hybnosti: bez vonkajšieho krútiaceho momentu zostáva L konštantný. Rotujúci vrchol sa točí, dokiaľ je trenie (vonkajší krútiaci moment) malé; voľne obiehajúca planéta zachováva moment hybnosti tým, že zametá rovnaké plochy za rovnaké časy (druhý Keplerov zákon). Spoločne to vysvetľuje, prečo gyroskopy odolávajú naklonení: zmena smeru L vyžaduje krútiaci moment a rýchlo rotujúci gyroskop má také veľké L, že malé momenty ho sotva vychýlia.

V rotujúcej vzťažnej sústave má nehybný predmet zdanlivú silu smerom von, ktorá sa rovná dostredivej sile, potrebnej na to, aby zostal na kružnici. Veľkosť je F = mω²r, rovnaká ako vzorec pre dostredivú silu. Predvolená ukážka (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) dáva F = 150 N smerom von, dotyčnicovú rýchlosť 15 m/s a g-silu ~152,91 g. Zdanlivá sila neexistuje v inerciálnej (nerotujúcej) vzťažnej sústave, kde je sila od lana alebo steny dostredivá a žiadny tlak smerom von vôbec nie je. Odstredivá sila je tá, ktorá drží vodu vo vedre pri zvislom kyvadlovom pohybe, ktorá suší bielizeň v práčke, ktorá oddeľuje zložky krvi v centrifúge a ktorá prižíma cestujúcich k vonkajšej stene v rotujúcom návrhu vesmírnej stanice. Obe sily sú podľa definície rovnako veľké a opačne orientované.

• Odstredivá sila je skutočná sila, ktorá tlačí smerom von. Je to zdanlivá sila, ktorá sa objaví len v rotujúcej (neinerciálnej) vzťažnej sústave. V inerciálnej sústave je jediná sila dostredivá — to, čo sa pociťuje ako „smerom von“, je zotrvačnosť, ktorá odoláva ťahu dovnútra.
• Moment hybnosti udržuje vrchol v pohybe navždy. Moment hybnosti sa zachováva len bez vonkajšieho krútiaceho momentu. Vrchol spomaľuje, pretože trenie na hrote je vonkajší krútiaci moment; koleso na bezfrikčnom ložisku (vo vysokom vákuu, v supravodiči) sa môže točiť celé dni, ale nikdy nie navždy.
• Ťažšie predmety majú väčší moment zotrvačnosti. Ťažšie predmety rovnakého tvaru áno; dutá obruč a plný kotúč rovnakej hmotnosti však môžu mať veľmi odlišné momenty, lebo rozhodujúce je rozloženie hmotnosti, nie len jej celková veľkosť.
• Predmet v krúživom pohybe nemá výslednú silu. Výsledná sila je nulová, ak sa pohybuje konštantnou rýchlosťou po priamke. Kruhová dráha je konštantné zrýchlenie smerom do stredu a vyžaduje stálu silu dovnútra. Keď sa táto sila odoberie, predmet kružnicu opustí.

Súvisiace nástroje: Mechanika pre lineárnu dynamiku v pozadí, Tekutiny pre víry a rotujúce prúdenie a Moderná fyzika pre kvantový moment hybnosti, ktorý sa objavuje v atómoch.