Kalkulačka vĺn a kmitania

Kmitanie a vlny sú tá istá fyzika v rôznych kostýmoch. Kmitanie je čokoľvek, čo sa pohybuje sem a tam okolo rovnovážnej polohy — závažie na pružine, guľôčka kyvadla, napätie na kondenzátore, výška struny gitary, tlak vo zvukovej vlne. Vlna je kmitanie, ktoré sa šíri: ten istý pohyb sem a tam, no teraz nastáva v každom bode priestoru v mierne inom čase, takže snímka ukazuje sínusový vzor, ktorý sa šíri. Oboje riadi jediná diferenciálna rovnica, rovnica harmonického oscilátora (SHM) x''(t) = -ω²x(t), ktorej všeobecným riešením je sínusoida x(t) = A cos(ωt + φ). Odtiaľ: perióda T = 2π/ω, frekvencia f = ω/(2π), maximálna rýchlosť v_max = Aω, maximálne zrýchlenie a_max = Aω². Šesť panelov na tejto stránke pokrýva typické prípady: samotný harmonický pohyb, kyvadlo ako hodiny, vlnová rovnica v = fλ pre postupné vlny, Dopplerov posun pri pohybe zdroja alebo pozorovateľa, LC rezonanciu ako elektrickú analógiu závažia na pružine a rázovú frekvenciu, keď sa interferujú dva blízke tóny.

Harmonický pohyb je každý pohyb, pri ktorom je vracajúca sila (alebo moment, napätie či tlakový rozdiel) úmerná výchylke z rovnovážnej polohy. Závažie na pružine je učebnicový prípad: F = -kx dáva x'' = -(k/m)x, takže ω = √(k/m). Poloha v ľubovoľnom čase je x(t) = A cos(ωt + φ), rýchlosť v(t) = -Aω sin(ωt + φ), zrýchlenie a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Pri ukážke (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) platí T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Ak sa zadá aj čas t, kalkulačka vypíše okamžité x(t), v(t), a(t) — tri sínusoidy navzájom posunuté o 90°. Harmonický pohyb sa objavuje v atómových mriežkach (kde modeluje fonóny), v striedavých obvodoch (kde napätie a prúd kmitajú sínusovo s ω = 2πf) a v každom malom kmitaní okolo rovnovážnej polohy.

Kyvadlo dĺžky L kmitajúce pod vplyvom gravitácie g pri malých uhloch (θ < ~15°) spĺňa rovnicu harmonického pohybu s ω = √(g/L). Perióda je slávne T = 2π√(L/g), o ktorej Galileo ako prvý poznamenal, že nezávisí od hmotnosti závažia ani od toho, ako ďaleko sa kyvadlo rozkmitá. S L = 1 m a g = 9,81 m/s² (Zem) platí T ≈ 2,006 s — klasické „sekundové kyvadlo“, ktoré pôvodne definovalo meter (polperióda = 1 s). Na Mesiaci, kde g = 1,62 m/s², trvá rovnaké kyvadlo s dĺžkou 1 m T ≈ 4,94 s; na Marse (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Nad amplitúdou ~15° začína aproximácia malých uhlov driftovať a vstupuje korekčný člen, preto skutočné stojaté hodiny používajú dlhé pomaly kmitajúce kyvadlo (malá amplitúda), nie krátke rýchle. Hmotnosť závažia sa v √(g/L) skráti: ťažké aj ľahké závažia na tej istej šnúre majú identické periódy.

Každá postupná vlna, či už zvuková, svetelná, vodná alebo seizmická, sa riadi tým istým základným vzťahom: v = fλ — rýchlosť vlny sa rovná frekvencii násobenej vlnovou dĺžkou. Tri režimy tu riešia ľubovoľnú neznámu, keď sú dané ostatné dve. Ukážka (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) dáva v = 343,2 m/s — presne rýchlosť zvuku vo vzduchu pri 20 °C. Tri referenčné rýchlosti ukotvujú rády veličín: zvuk vo vzduchu ~343 m/s, zvuk vo vode ~1480 m/s, svetlo vo vákuu c = 3×10⁸ m/s. Na prechod vlny z jedného prostredia do druhého sa pri lome používa Snellov zákon (uvedený na stránke optiky), no vnútri jedného homogénneho prostredia je v určená vlastnosťami prostredia (hustota a tuhosť pri zvuku, permitivita a permeabilita pri svetle).

Dopplerov jav je zmena pozorovanej frekvencie, keď sa zdroj a pozorovateľ pohybujú voči sebe. Klasický vzorec je f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), kde sa horné znamienko v čitateli berie, keď sa pozorovateľ pohybuje smerom k zdroju (počuje vyšší tón), a dolné znamienko v menovateli, keď sa zdroj pohybuje smerom k pozorovateľovi (aj tak počuje vyšší tón). Ukážka (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, zdroj nehybný, pozorovateľ sa pohybuje smerom k zdroju rýchlosťou 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, posun +87,46 Hz, teda +8,75 %. Rovnaký zdroj s rýchlosťou 30 m/s pohybujúci sa smerom k nehybnému poslucháčovi dáva rovnaký výsledok (vzorec je symetrický). Pri vysokých rýchlostiach sa stáva významnou relativistická korekcia; pri radarovom meraní auta rýchlosťou 30 m/s sa faktor γ od 1 líši len o ~5×10⁻¹⁷, a preto klasický vzorec postačuje pre zvuk, no svetlo vyžaduje relativistickú verziu.

Obvod LC (induktor L paralelne s kondenzátorom C) je elektrickou analógiou závažia na pružine: náboj hrá úlohu výchylky, prúd úlohu rýchlosti, indukčnosť L úlohu hmotnosti a 1/C úlohu tuhosti pružiny. Náboj kmitá s ω = 1/√(LC), ekvivalentne f = 1/(2π√(LC)). Ukážka (L = 100 mH, C = 10 μF) dáva LC = 1×10⁻⁶ a √(LC) = 1×10⁻³, takže f ≈ 159,15 Hz s uhlovou frekvenciou ω ≈ 1000 rad/s a periódou T ≈ 6,28×10⁻³ s. Skutočné LC obvody majú aj odpor, ktorý spôsobuje doznievanie kmitov — práve túto mieru doznievania minimalizuje ladenie rádia AM, aby sa stanica prijímala čisto. Pridanie budiaceho zdroja presne na frekvencii f núti obvod do rezonancie, pričom amplitúdy napätia a prúdu sú oveľa väčšie než mimo rezonancie.

Keď spolu znejú dva tóny s mierne odlišnými frekvenciami, tlak vzduchu je súčtom dvoch sínusoíd — čo sa trigonometriou rovná kosínusu na priemernej frekvencii f_p = (f₁ + f₂)/2 modulovanému pomalou obálkou s frekvenciou f_beat = |f₁ − f₂|. Ucho počuje priemernú výšku tónu, ktorá sa zosilňuje a zoslabuje rýchlosťou rázov. Ukážka (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) dáva f_beat = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, perióda rázov 0,2 s — zreteľne počuteľné pulzovanie päťkrát za sekundu. Pod ~10 Hz sa rázy počujú ako samostatné impulzy; nad ~30 Hz splývajú do drsnosti alebo trilku. Ladiči klavírov to využívajú: udrú referenčný tón a ladenú strunu, počúvajú rázy a dolaďujú, kým rázy nezaniknú. Keď sú struny dokonale naladené, f_beat = 0 a kalkulačka vypíše „Rovnaké frekvencie — žiadne rázy“.

• Perióda a frekvencia nie sú to isté. T (sekundy na cyklus) a f (cykly za sekundu) sú prevrátené hodnoty. T = 1/f. Kmitanie s frekvenciou 0,5 Hz trvá jeden cyklus 2 sekundy.
• Perióda kyvadla závisí od amplitúdy len slabo. Presná perióda pre konečnú amplitúdu θ₀ je T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Pri 15° ide o korekciu 0,7 %, pri 30° asi 1,7 % — v úvodných úlohách sa zvyčajne zanedbáva.
• Dopplerov posun je rovnaký, či sa hýbe zdroj alebo pozorovateľ. Či sa zdroj pohybuje smerom k nehybnému pozorovateľovi, alebo pozorovateľ smerom k nehybnému zdroju rovnakou rýchlosťou, posun výšky tónu je identický (nerelativisticky).
• Rezonancia nie je to isté ako maximálna amplitúda. Rezonancia je podmienka ω_budenia = ω_vlastná. Pri tlmení je maximálna amplitúda nižšia než netlmená hodnota; bez tlmenia amplitúda rastie bez obmedzenia (obmedzená len nelinearitou).

Súvisiace nástroje: Moderná fyzika pre de Broglieho vlny a dualizmus vlna–častica, Elektrina a obvody pre analýzu striedavého prúdu, kde sa nachádza LC rezonancia, a Optika a svetlo pre elektromagnetické vlny.