Vektorová kalkulačka

Operácie s 2D a 3D vektormi s vizualizáciou šípok na plátne v reálnom čase. Výpočet skalárneho a vektorového súčinu, uhla, veľkosti, jednotkového vektora a sčítania či rozkladu vektorov. Tiež: Mechanika | Obvody | Termodynamika.
Výber operácie:
x y
x y
Vektorové operácie: Skalárny súčin: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz v 3D). Vektorový súčin (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Uhol: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Priemet: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Jednotkový vektor: u = A/|A|. Veľkosť: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Čo sú vektory?

Vektor je veličina s veľkosťou aj smerom: sila, rýchlosť, zrýchlenie, hybnosť, elektrické a magnetické polia, moment hybnosti. Naproti tomu skalár je len číslo: hmotnosť, čas, energia, teplota. Geometricky sa vektor kreslí ako šípka, ktorej dĺžka je veľkosť a uhol udáva smer; algebraicky je to usporiadaný zoznam zložiek, dve v rovine a tri v priestore. Šesť operácií pokrýva takmer všetko, čo sa s vektormi robí: veľkosť |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), sčítanie po zložkách, skalárny súčin A·B = ΣAiBi, vektorový súčin A×B (len 3D), uhol z cosθ = A·B/(|A||B|) a jednotkový vektor / priemet. Panel implementuje všetkých šesť v 2D aj 3D s okamžitým vykreslením na plátne — vidieť dve šípky a ich súčet alebo súčin je rozdiel medzi abstraktnou manipuláciou a fyzikálnou predstavou.

Tri súčiny zvládnu všetko, čo treba: skalárny súčin (skalár merajúci zarovnanie, A·B = |A||B|cosθ), vektorový súčin (vektor kolmý na oba vstupy s veľkosťou |A||B|sinθ) a operátor priemetu (zložka A v zvolenom smere). Sú účtovníctvom každého fyzikálneho vzorca, ktorý obsahuje viac než jeden vektor.
Veľkosť a typický príklad v 2D

Trojuholník 3-4-5 je typický príklad pre 2D vektory. Vezmime A = (3, 4). Jeho veľkosť je |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Jeho smer od kladnej osi x je arctan(4/3) ≈ 53,13°. Každý 2D vektor možno zapísať ako veľkosť násobenú jednotkovým vektorom v tomto smere: A = 5·(0,6; 0,8). Rozkladový panel prijíma veľkosť a uhly θ a φ a vracia zložky x, y, z podľa ktorejkoľvek sférickej konvencie (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) alebo rovinnej (φ sa ignoruje, x = r cosθ, y = r sinθ). Pre r = 10, θ = 36,87° v režime 2D to vracia (8, 6, 0) — trojuholník 6-8-10, zväčšený z pôvodného 3-4-5. Rozpoznávanie týchto celočíselných trojuholníkov je skratka, ako nájsť zložky kolmé bez použitia goniometrie.

Skalárny súčin — skalárna miera zarovnania

Pre dva vektory A a B je skalárny súčin A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) skalár rovný |A||B|cosθ — teda súčin veľkostí násobený kosínusom uhla medzi nimi. Predvolená 2D ukážka (A = (3, 4), B = (5, 2)) dáva A·B = 15 + 8 = 23, veľkosti |A| = 5 a |B| = √29 ≈ 5,385 a cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, takže θ ≈ 31,33°. Tri dôsledky znamienka nesú celú interpretáciu: cosθ > 0 znamená ostrý uhol a vektory smerujú približne tým istým smerom; cosθ < 0 znamená tupý uhol a vektory sú proti sebe; cosθ = 0 znamená kolmosť. Skalárny súčin je prácou sily F pozdĺž posunutia d (W = F·d) a kosínus je dôvodom, prečo tlačenie pod uhlom je menej účinné než tlačenie v smere pohybu.

Vektorový súčin — vektor kolmý na oba vstupy

Vektorový súčin je operácia len v 3D, ktorej výsledkom je vektor kolmý na oba vstupy s veľkosťou |A||B|sinθ a smerom určeným pravidlom pravej ruky (ukazovák smerom k A, prostredník k B, palec ukazuje A×B). V zložkách je A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Predvolená 3D ukážka (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) dáva A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Vektorový súčin je antisymetrický: B×A = −A×B, takže zámena vstupov mení znamienko. Tri fyzikálne výskyty: krútiaci moment τ = r×F (rotačná sila), moment hybnosti L = r×p (orbitálny moment hybnosti) a magnetická sila F = qv×B na pohybujúci sa náboj. Veľkosť |A×B| sa rovná ploche rovnobežníka, ktorý oba vektory vytvárajú, a preto výsledky vektorového súčinu vždy opisujú plochu alebo rotáciu. Krútiaci moment je vektorový súčin v praxi: τ = r×F má veľkosť |r||F|sinθ, takže sila smerujúca k osi dáva nulu a dlhší kľúč dáva väčší moment.

Uhol medzi vektormi

Ak sa pozná skalárny súčin a veľkosti, uhol je jedna arkuskosínusová funkcia: cosθ = A·B/(|A||B|), s θ v [0, π]. Malý skalárny súčin vzhľadom na veľkosti znamená takmer kolmé vektory; skalárny súčin rovný |A||B| znamená, že vektory smerujú rovnako (θ = 0); skalárny súčin rovný −|A||B| znamená opačný smer (θ = π). Vzorec je rovnaký v 2D aj 3D — líši sa len rozmer súčtov zložiek. Geometricky možno skalárny súčin chápať ako priemet A na B (alebo B na A) vynásobený veľkosťou druhého, takže kosínus je doslova pomer priemetu.

Jednotkový vektor a priemet

Jednotkový vektor je vektor s veľkosťou 1 smerujúci rovnako ako pôvodný: u = A / |A|. Jednotkové vektory sú spôsob, ako opísať „čistý smer“; bázové vektory i, j, k kartézskych súradníc sú typickými príkladmi a ľubovoľný smer v 3D možno zapísať ako lineárnu kombináciu nich. Priemet A na B (alebo zložka A pozdĺž B) je projBA = (A·B / |B|²) · B — časť A ležiaca pozdĺž B. Skalárna verzia (A·B/|B|) je so znamienkom dĺžka tohto priemetu. Práve preto je skalárny súčin vzorcom pre prácu: zložka posunutia v smere sily, násobená veľkosťou sily, je vykonaná práca.

Bežné omyly
  • Skalárny súčin je násobenie vektorov. Je to skalárny súčin — dáva číslo, nie vektor. Podobne vektorový súčin je vektorový produkt. Nazývanie oboch „násobením“ skrýva, že majú úplne odlišné výsledky.
  • Vektorový súčin je skalár. V 2D sa kolmá zložka niekedy nazýva skalárom (determinant axby − aybx), no v 3D je vektorový súčin skutočne vektor. Veľkosť aj smer majú fyzikálny význam.
  • Vektorový súčin je komutatívny. Je antikomutatívny: A×B = −B×A. Poradie záleží — krútiaci moment r×F má opačný zmysel než F×r.
  • Vektor má pevnú polohu. Vektory sú voľné — možno ich posúvať po strane bez zmeny. Pevné sú ich veľkosť a smer; viazané na miesto sú len niektoré vektory vo fyzike (polohové vektory, elektrické pole v bode).

Súvisiace nástroje: Mechanika pre krútiaci moment, prácu a moment hybnosti v kontexte, Rotačná dynamika pre to, ako vektorový súčin vytvára moment hybnosti, a Obvody pre magnetickú silu F = qv×B.