Калькулятор астрофізики

Астрофізика — частина фізики, що використовує гравітацію і рух як мову опису всього, від місяця до галактики. Шість калькуляторів цієї панелі відповідають на шість повторюваних запитань про будь-яке тіло чи траєкторію: з якою швидкістю треба кинути щось, щоб вийти з системи? З якою, щоб обертатися навколо неї? Скільки триває орбіта? Наскільки малою мала б стати та сама маса, щоб стати чорною дірою? Скільки дельта-v набирає ракета на частку пального? І як далеко галактика, чиє світло червоніє? Усе інше — відстані, виміряні паралаксом відносно орбітальної бази Землі в одну астрономічну одиницю (а.о. = 1.496×10¹¹ м), величини як логарифмічне ранжування яскравості, червоне зміщення z ≈ v/c як низькошвидкісна версія закону Хаббла — спирається на ту саму ньютонівську і релятивістську основу.

Кожне тіло масою M і радіусом R створює потенціальну яму глибиною GM/R на одиницю маси. Щоб піднятися з поверхні, потрібна кінетична енергія щонайменше такої глибини — звідси швидкість втечі. Підставте Землю: M = 5.972×10²⁴ кг, R = 6.371×10⁶ м — панель повертає v_e ≈ 11 186 м/с (11.19 км/с, близько Маха 33). Марс — ≈ 5.03 км/с, Місяць — 2.38 км/с, Юпітер — 60 км/с (де водень погано підходить як пальне, але математика та сама), Сонце — 618 км/с. Зауваження: формула припускає відсутність атмосферного опору і подальшої тяги; реальне число для будь-якої ракети враховує аеродинамічні втрати, гравітаційний опір під час підйому і втрати на керування. Це також швидкість із спокою на поверхні; об'єкт, що вже на орбіті, потребує меншого Δv, щоб вийти зі своєї висоти, а не повного значення для поверхні. Той самий масштаб задає вагу на поверхні: на Марсі (g = 3.71 м/с²) астронавт 70 кг важить 260 Н — маса не змінилась, вага слідує за місцевою гравітацією.

Стабільна колова орбіта балансує доцентрове прискорення з гравітацією: v_o = √(GM/r). Типова пресет-Земля панелі на r = 7×10⁶ м (близько 629 км висоти — територія МКС) дає v_o ≈ 7 546 м/с і період 5 829 с (~1.62 години). Справжня МКС розташована на ~408 км і обертається за ~92.7 хвилини; висота панелі — ілюстративне число, а не розклад польотів. Співвідношення також дає втечу — помножте v_o на √2, щоб отримати v_e на тій самій висоті. Орбітальна швидкість не залежить від маси супутника; пір'їнка і лінкор на одній орбіті рухаються з однаковою швидкістю (у вакуумі), тому орбітальна механіка розглядає супутники як точкові частинки.

T² = (4π²/GM) · a³ пов'язує період обертання з великою піввіссю. Пресет Сонце-Земля панелі (M = 1.989×10³⁰ кг, a = 1.496×10¹¹ м = 1 а.о. за визначенням) дає T ≈ 365.21 доби — саме тривалість нашого року. Обернений розв'язок — за заданим періодом у секундах обчислити a — це спосіб, яким астрономи вимірюють велику піввісь будь-якого супутника, період якого вони можуть засікти. Та сама база 1 а.о. також є визначенням парсека: зірка, що показує 1 кутову секунду зсуву паралаксу проти фону, коли Земля обходить 2 а.о., розташована рівно на 1 парсек = 3.26 світлового року. І 1 парсек = 206 265 а.о. Кілометри і світлові роки стають незручними на міжзоряних масштабах; робочі одиниці — парсеки і а.о.

Якщо стиснути масу M нижче її радіусу Шварцшильда R_s = 2GM/c², жоден сигнал зсередини не зможе вибратися назовні: це горизонт нерухомої чорної діри. Числа для звичайних мас напрочуд малі: R_s Землі становить близько 8.87 мм — менше за кульку; радіус Шварцшильда Сонця — близько 2.95 км. Щоб зколапсувати будь-яке з них, знадобилися б густини, яких жоден відомий стан речовини не дає. Реальні чорні діри утворюються при смерті зірок, де 14.76 км для залишку 5 M_⊙ (пресет «малої ЧД» панелі) — правильний порядок величини для об'єктів класу Лебедя X-1, тоді як надмасивна чорна діра 4×10⁶ M_⊙, як Стрілець A* у центрі нашої галактики, має R_s ≈ 1.18×10¹⁰ м (близько 17% орбіти Меркурія). Радіус Шварцшильда — координатне передбачення загальної теорії відносності; справжній горизонт обертової (Керрової) чорної діри відрізняється і може бути меншим.

Збереження імпульсу для ракети, що викидає вихлоп назад зі швидкістю v_e при відношенні мас m₀/m_f, дає Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Завантажуваний зразок панелі (v_e = 3000 м/с, m₀ = 500 000 кг, m_f = 50 000 кг) дає Δv ≈ 6 907.76 м/с для відношення мас 10 і частки пального 90%. Рівняння жорстоко логарифмічне: подвоєння пального додає v_e·ln(2) до Δv, а не подвоює його. Для виходу на низьку навколоземну орбіту потрібно приблизно 9.4 км/с Δv загалом; для геостаціонарного переходу — близько 11.5 км/с; для переходу до Місяця — близько 12.5 км/с. Звідси — чому ракети мають ступені, чому верхні ступені є крихітними частками стартової маси і чому одноступеневий вихід на орбіту лишається упертим завданням.

Спостереження Едвіна Габбла 1929 року, що галактики віддаляються зі швидкістю, пропорційною відстані, дає d = v/H₀. З H₀ = 70 км/с/Мпк панелі галактика зі швидкістю v = 1 000 км/с перебуває на d ≈ 14.286 Мпк ≈ 4.66×10⁷ світлових років. Для близьких галактик швидкість віддалення — мала частка c, тож z ≈ v/c ≈ 3.34×10^-3; лінійний закон Габбла тоді є окремим випадком космологічного віддалення у розширюваному Всесвіті. Співвідношення ламається при великому червоному зміщенні (z > 0.1), де вступає повна космологічна модель, тому інфоблок попереджає, що формула — для «відносно близьких» галактик. Те саме застереження стосується використання v_e або v_o поблизу швидкості світла (релятивістські поправки мають значення). Драбина відстаней Габбла — від паралаксу до цефеїд, наднових типу Ia і потоку Габбла — саме й калібрує сам H₀; нинішня напруга H₀ між локальними і виведеними з CMB значеннями лишається однією з відкритих проблем космології.

• Швидкість втечі — це швидкість запуску з землі. Це швидкість із спокою на заданому радіусі без подальшої тяги; ракета, що піднімається з постійною малою тягою протягом годин, не повинна в жоден момент досягати v_e.
• Чорні діри втягують речі, як пилосос. Радіус горизонту визначається центральною масою, а не об'єктом, який «притягують». На r » R_s гравітація — це просто Ньютон; лише дуже близько до горизонту вона стає незворотною. Сонце, якби воно було чорною дірою тієї ж маси, зовсім не змінило б орбіту Землі.
• Більше пального — пропорційно більше Δv. Формула Ціолковського логарифмічна: подвоєння пального додає v_e·ln(2), а не подвоює дельта-v. Це найважливіше число в ракетобудуванні.
• Паралакс вимірює розміри зірок. Паралакс вимірює відстань тим самим геометричним методом тріангуляції, яким користуються геодезисти — чим більша база, тим далі відстань. База 2 а.о. з річної орбіти Землі робить парсеки природною одиницею.

Пов'язані інструменти: Механіка для лежачої в основі кінематики, Сучасна фізика для релятивістських ефектів на високих швидкостях, і Калькулятор для алгебраїчного апарату, що виконує наведені формули.