Дві закони збереження виконують важку роботу: збереження маси дає неперервність (Q = A·v, A1v1 = A2v2), збереження енергії вздовж лінії току дає Бернуллі (P + ½ρv² + ρgh = const). Усе інше — плавучість, гідростатичний тиск, опір — окремий випадок або наслідок.
Закон Архімеда — витіснена вага
Будь-яке тіло, занурене в рідину, відчуває вгору силу, рівну вазі витісненої рідини: Fb = ρ·V·g, де ρ — густина рідини, V — витіснений об'єм, g — прискорення вільного падіння. Типовий зразок (ρ = 1000 кг/м³ прісна вода, V = 0.01 м³, g = 9.81 м/с²) дає Fb ≈ 98.1 Н — вагу 10 кг води. Саме тому дерев'яний блок 10 кг (густина 700 кг/м³) плаває наполовину зануреним: половина його об'єму витісняє половину ваги. Тіло плаває, коли його середня густина менша за густину рідини; тоне, коли більша; висить у товщі, коли рівна. Для газів те саме співвідношення працює з ρ близько 1.2 кг/м³ на рівні моря, тому гелієва куля піднімає лише близько 1 грама на літр — контраст густин малий.
Гідростатичний тиск — вага стовпа
У статичній рідині тиск зростає лінійно з рлибиною: P = P0 + ρg·h, де P0 — тиск на поверхні (атмосферний, 101 325 Па на рівні моря). Типовий зразок (20 м прісної води) дає надлишковий тиск ρg·h = 196 200 Па і повний тиск 297 525 Па (близько 2.94 атм, 2.98 бар). Тиск залежить лише від рлибини і густини рідини, а не від форми посудини — «гідростатичний парадокс» — бо кожен елемент рідини на рлибині h має однакову вагу стовпа над собою. Закон Паскаля: зміна тиску, прикладена до замкненої рідини, передається без зменшення в кожну її частину, тому рідравлічні підйомники множать силу: мала сила на малому поршні створює той самий тиск, що піднімає великий поршень з пропорційно великою силою.
Бернуллі — енергія вздовж лінії току
Для сталої, нестисливої, невʼязкої течії енергія на одиницю об'єму зберігається вздовж будь-якої лінії току: P + ½ρv² + ρgh = const. Типовий зразок починається з атмосферного тиску, v1 = 2 м/с, h1 = 10 м, і закінчується v2 = 4 м/с, h2 = 5 м — панель повертає P2 ≈ 144 375 Па при сталій близько 201 425 Па. Зменшення висоти додає потенціальний тиск; зростання швидкості забирає статичний тиск. Це робочий принцип вентурі (звуження труби прискорює потік і знижує тиск), карбюратора (рорловина в повітряному каналі знижує тиск і втягує паливо), крила літака (верхня поверхня прискорює повітря, знижуючи його тиск, і піднімає крило) і трубки Піто (різниця тиску вимірює швидкість). Бернуллі не працює там, де течія не стала, не нестислива або не невʼязка — зокрема при великих числах Рейнольдса, де турбулентність робить тиск шумним і формула усереднює за часом. Підйомна сила крила здебільшого є третім законом Ньютона — відхиленням повітряного потоку вниз — з перепадом тиску Бернуллі як бухгалтерією, а не причиною.
Витрата — скільки за секунду
Об'ємна витрата: Q = A·v, де A — площа перерізу, v — середня швидкість. Типовий зразок (A = 0.05 м², v = 3 м/с) дає Q = 0.15 м³/с = 150 л/с, або 9 м³ за хвилину. Для нестисливої течії через трубу змінного перерізу збереження маси вимагає A1·v1 = A2·v2: зменшення перерізу вдвічі подвоює швидкість. Тому садовий шланг із пальцем на кінці б'є далі, а звуження річки на перекатах дає бурхливу воду. Правило неперервності локальне в кожен момент; швидкість не «пам'ятає» попередніх перерізів. Для стисливої течії (газопроводи, реактивні двигуни) правильний інваріант — масова витрата ρA·v, яка стала, якщо рідину не додають і не забирають.
Опір Стокса — ламінарний кінець рідинноро опору
Для кулі радіуса r, що рухається з малою швидкістю в рідині в'язкості μ, сила опору Fd = 6πμr·v. Типовий зразок (μ = 0.001 Па·с вода, r = 1 см, v = 0.5 м/с) дає Fd ≈ 9.42×10−5 Н (близько 94 мкН). Співвідношення лінійне за v, бо при малому числі Рейнольдса слід симетричний, і домінує в'язкість; робота кулі проти опору йде на в'язкісне нагрівання рідини. Опір Стокса працює лише при Re < 1 — для кулі 1 см у воді це означає швидкості нижче близько 10−4 м/с. На більших швидкостях коефіцієнт опору стає приблизно сталим, і сила масштабується як v², а не v. Опір Стокса контролює осідання пилу в повітрі, плавання бактерій і падіння дрібного осаду у воді.
Число Рейнольдса — порядок проти хаосу
Безрозмірне відношення Re = ρvL/μ порівнює інерційні сили з в'язкими. Типовий зразок (вода, v = 1 м/с, L = 0.1 м) дає Re ≈ 100 000, що явно в турбулентному режимі. Емпірично: Re < ~2 000 — ламінарна течія (рладка, передбачувана, паралельні лінії току); Re > ~4 000 — турбулентна (хаотична, перемішувальна, з вихорами); вузька смура між ними — перехідна. Кровотік в аорті (Re ~ 4 000) знаходиться на межі; у капілярах (Re ~ 0.001) він чітко ламінарний, і застосовується опір Стокса. Повітря над крилом літака навмисно турбулентне, щоб відтерміновувати відрив потоку. Число Рейнольдса — причина, чому труби мають «критичну швидкість», вище якої витрати на перекачування різко зростають, і чому дим свічки піднімається рладким ламінарним стовпом кілька сантиметрів, перш ніж розпастися на хаотичні завитки.
Поширені хибні уявлення
- Сила Архімеда походить від того, що дно штовхає вгору. Вона походить від інтеграла тиску по всій змоченій поверхні. Тиск на дні вищий, але внески з боків теж ненульові, і результат точно дорівнює вазі витісненої рідини — тому геометрія посудини не змінює відповіді.
- Крила літака піднімаються, бо верхня поверхня довша і повітря «мусить наздогнати». Підйомна сила походить від перепаду тиску, що створює циркуляція і форма крила; рівний час проходу — нагодне виведення, яке випадково дає правильне числове значення з неправильної причини. Для крил на низьких швидкостях домінантний механізм — розподіл тиску, а не «прискорення зверху».
- Закон Стокса працює на будь-якій швидкості. Лише коли Re < 1. Сталева куля 1 см, що падає у воді, досягає Re = 1 при кількох десятих міліметра за секунду; вище сліди стають асиметричними і опір зростає до поведінки v². Стокс недооцінює опір для всього, що нагадує кульку.
- Тиск завжди штовхає від рідини назовні. У статичній рідині тиск ізотропний: він тисне однаково в усіх напрямках. «Штовхання знизу» на занурену поверхню — це лише вертикальна складова того саморо тиску, що тисне вбік і вгору на кожен квадратний сантиметр.
Пов'язані інструменти: Механіка для сили, роботи й енергії, Термодинаміка для стисливої течії і газодинаміки, і Конвертер одиниць для переходу між Па, бар, атм і psi.
