Калькулятор хвиль і коливань

Коливання і хвилі — та сама фундаментальна фізика в різних костюмах. Коливання — це будь-що, що рухається туди-сюди навколо положення рівноваги: маса на пружині, куля маятника, напруга на конденсаторі, висота струни гітари, тиск усередині звукової хвилі. Хвиля — це коливання, що поширюється: той самий рух туди-сюди, але тепер у трохи різний час у кожній точці простору, тож знімок показує синусоїдальний візерунок, що поширюється. Обидва керуються одним диференціальним рівнянням простого гармонічного осцилятора (ПГО) x''(t) = -ω²x(t), загальний розв'язок якого — синусоїда x(t) = A cos(ωt + φ). Звідти: період T = 2π/ω, частота f = ω/(2π), пікова швидкість v_max = Aω, пікове прискорення a_max = Aω². Шість панелей цієї сторінки покривають канонічні випадки: власне ПГК, маятник як годинник, хвильове рівняння v = fλ для біжучих хвиль, зсув Доплера, коли рухається джерело або спостерігач, LC-резонанс як електричний аналог маси на пружині і частоту биття, коли інтерферують два близькі тони.

ПГК — це будь-який рух, де відновлювальна сила (або момент, або напруга, або різниця тиску) пропорційна відхиленню від рівноваги. Маса на пружині — підручниковий випадок: F = -kx дає x'' = -(k/m)x, тож ω = √(k/m). Положення в будь-який час x(t) = A cos(ωt + φ), швидкість v(t) = -Aω sin(ωt + φ), прискорення a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). З типовим зразком (A = 0.1 м, ω = 6.28 рад/с) T = 2π/ω ≈ 1.0005 с, f = ω/(2π) ≈ 0.9995 Гц, v_max = Aω = 0.628 м/с, a_max = Aω² ≈ 3.9438 м/с². Якщо ви також введете час t, калькулятор повідомить миттєві x(t), v(t), a(t) — три синусоїди, зсунуті на 90° за фазою. ПГК з'являється в атомних ґратках (де моделює фонони), у колах змінного струму (де напруга і струм коливаються синусоїдально з ω = 2πf), і в будь-якому малому коливанні навколо рівноваги.

Маятник довжиною L, що коливається під дією гравітації g при малих кутах (θ < ~15°), задовольняє рівнянню ПГК з ω = √(g/L). Період — знаменита T = 2π√(L/g), яку Галілей першим помітив як незалежну від маси кулі і від того, наскільки далеко її відхиляють. З L = 1 м і g = 9.81 м/с² (Земля) T ≈ 2.006 с — канонічний «секундний маятник», який дав метру початкове визначення (півперіод = 1 с). На Місяці, з g = 1.62 м/с², той самий маятник 1 м має T ≈ 4.94 с; на Марсі (g = 3.72 м/с²) T ≈ 3.26 с. Понад амплітуду ~15° наближення малого кута починає відхилятися, і з'являється поправка, тому справжній годинник із дідусевим корпусом використовує довгий повільний маятник (мала амплітуда), а не короткий швидкий. Маса кулі скорочується в √(g/L): важкі і легкі кулі на одній нитці мають однакові періоди.

Кожна біжуча хвиля — звукова, світлова, водна чи сейсмічна — підкоряється тому самому фундаментальному співвідношенню: v = fλ — швидкість хвилі дорівнює частоті, помноженій на довжину хвилі. Три режими тут розв'язують будь-яку одну невідому при двох інших. Зразок (f = 440 Гц, λ = 0.78 м) дає v = 343.2 м/с — точно швидкість звуку в повітрі при 20°C. Три опорні швидкості задають порядки величин: звук у повітрі ~343 м/с, звук у воді ~1480 м/с, світло у вакуумі c = 3×10⁸ м/с. Щоб перевести хвилю з одного середовища в інше, використовують закон Снелліуса (розглянутий на сторінці оптики) для заломлення, але всередині одного однорідного середовища v задається властивостями середовища (густиною і жорсткістю для звуку, діелектричною і магнітною проникністю для світла).

Ефект Доплера — це зміна спостережуваної частоти, коли джерело і спостерігач рухаються відносно одне одного. Класична формула: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), де верхній знак у чисельнику береться, коли спостерігач рухається до джерела (чує вищу висоту), а нижній знак у знаменнику — коли джерело рухається до спостерігача (все одно чує вищу висоту). Зразок (f = 1000 Гц, v = 343 м/с, джерело нерухоме, спостерігач рухається до джерела зі швидкістю 30 м/с): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087.46 Гц, зсув +87.46 Гц або +8.75%. Те саме джерело зі швидкістю 30 м/с, що рухається до нерухомого слухача, дає ту саму відповідь (формула симетрична). На високих швидкостях релятивістська поправка стає значущою; для радарного пістолета, що вимірює автомобіль зі швидкістю 30 м/с, фактор γ відрізняється від 1 лише на ~5×10⁻¹⁷, тому класична формула достатня для звуку, але для світла потрібна релятивістська версія.

LC-коло (індуктивність L паралельно з конденсатором C) — електричний аналог маси на пружині: заряд відіграє роль зсуву, струм — роль швидкості, індуктивність L — роль маси, а 1/C — роль жорсткості пружини. Заряд коливається з ω = 1/√(LC), еквівалентно f = 1/(2π√(LC)). Зразок (L = 100 мГн, C = 10 мкФ) дає LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, тож f ≈ 159.15 Гц з кутовою частотою ω ≈ 1000 рад/с і періодом T ≈ 6.28×10⁻³ с. Справжні LC-кола також мають опір, що спричиняє згасання коливань — саме швидкість цього згасання мінімізує настроювач AM-радіо, щоб чисто вибрати станцію. Додавання керованого джерела на точній частоті f примушує коло до резонансу, з амплітудами напруги і струму значно більшими, ніж поза резонансом.

Коли два тони трохи різних частот звучать разом, тиск повітря є сумою двох синусоїд — що за тригонометрією дорівнює косинусу на середній частоті f_p = (f₁ + f₂)/2, модульованому повільною обвідною з частотою f_beat = |f₁ − f₂|. Вухо чує середню висоту, що наростає і спадає з частотою биття. Зразок (f₁ = 440 Гц, f₂ = 445 Гц) дає f_beat = 5 Гц, f_p = 442.5 Гц, період биття = 0.2 с — чітко чутне пульсування 5 разів за секунду. Нижче ~10 Гц біття сприймаються як окремі імпульси; вище ~30 Гц вони зливаються в шорсткість або тремоло. Настроювачі піаніно використовують це: вдаряють еталонну висоту і струну, що налаштовують, слухають біття і підкручують, доки біття не зникнуть. Коли струни ідеально налаштовані, f_beat = 0, і калькулятор повідомляє «Однакові частоти — без биття».

• Період і частота — не одне й те саме. T (секунди на цикл) і f (цикли за секунду) — обернені одна до одної. T = 1/f. Коливання 0.5 Гц займає 2 секунди на один цикл.
• Період маятника слабко залежить від амплітуди. Точний період для скінченної амплітуди θ₀ — T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Для 15° це поправка 0.7%, для 30° — близько 1.7%; у вступних задачах її зазвичай ігнорують.
• Зсув Доплера однаковий, коли рухається джерело або спостерігач. Чи рухається джерело до нерухомого спостерігача, чи спостерігач до нерухомого джерела з однаковою швидкістю, зсув висоти однаковий (нерелятивістськи).
• Резонанс — не те саме, що максимальна амплітуда. Резонанс — це умова ω_drive = ω_natural. За наявності загасання пікова амплітуда нижча за незагасаюче значення; без загасання амплітуда зростає необмежено (обмежена лише нелінійністю).

Пов'язані інструменти: Сучасна фізика для хвиль де Бройля і дуалізму хвиля-частинка, Електрика і кола для аналізу змінного струму, де розташований LC-резонанс, і Оптика і світло для електромагнітних хвиль.