Чотири збережені величини виконують важку роботу: імпульс (p = mv), коли зовнішня сила не діє; механічна енергія (KE + PE), коли діють лише консервативні сили; момент імпульсу, коли немає зовнішньоро моменту сил; маса у звичайних (неядерних) взаємодіях. Разом вони розв'язують майже кожну задачу з підручника.
Рух тіла, кинутого під кутом — параболічний політ
Запустіть будь-що з початковою швидкістю v0 під кутом θ над горизонтом — і траєкторія стає параболою, коли опір повітря знехтувано. Горизонтальний і вертикальний рухи незалежні: x(t) = v0 cosθ · t (стала горизонтальна швидкість) і y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (рівноприскорене вертикальне падіння). Із цієї кінематики випливають три підсумкові результати: дальність R = v0² sin(2θ) / g, максимальна висота H = v0² sin²(θ) / (2g), час польоту T = 2v0 sinθ / g (для запуску з рівня землі). Типовий зразок (v0 = 20 м/с, θ = 45°, g Землі = 9.81 м/с²) дає vx = vy = 14.142 м/с, R = 40.775 м, H = 10.194 м і T = 2.883 с. Кут 45° дає максимальну дальність на рівній землі для заданої швидкості; на Місяці той самий запуск досягає R = 246.91 м, бо гравітація втричі... тобто у шість разів слабша.
Вільне падіння — три еквівалентні кінематичні форми
Тіло, відпущене зі спокою, падає при сталій гравітації з трьома взаємозамінними співвідношеннями: v = gt (миттєва швидкість у час t), h = ½g t² (пройдена відстань від спокою за час t) і v = √(2gh) (швидкість після падіння на відстань h). Кожне — окремий випадок кінематичних рівнянь і перетворюється на інші підстановкою. Типовий зразок (h = 100 м, Земля) дає t = 4.515 с, v = 44.294 м/с і v = 159.46 км/год — приблизно гранична швидкість парашутиста в стійкій позі. Перемкніть на режим з часу, і падіння за 3 секунди дає d = 44.145 м і v = 29.43 м/с (близько 105.95 км/год). Те саме падіння на Місяці займає t = 11.11 с і досягає лише 17.97 м/с — те саме падіння, у шість разів повільніше.
Похилна площина — гравітація, розкладена на складові
Блок масою m на схилі кута θ відчуває гравітацію W = mg прямо вниз, але прискорює блок лише складова вздовж поверхні; складова в поверхню скасовується нормальною силою. Розклад — це геометрія: Fпаралельна = mg sinθ, нормальна N = mg cosθ. Тертя додає силу опору f = μN = μmg cosθ, що протидіє руху; коефіцієнт кінетичноро тертя μ — від близько 0.04 (сталь по льоду) до 0.8 (гума по гумі). Чиста сила вниз за схилом — Fnet = mg sinθ − μmg cosθ, що дає прискорення a = g(sinθ − μ cosθ). Типовий зразок (m = 10 кг, θ = 30°, μ = 0.2, g = 9.81 м/с²) дає W = 98.1 Н, N = 84.957 Н, Fпаралельна = 49.05 Н, f = 16.991 Н, Fnet = 32.059 Н і a = 3.206 м/с². Блок ковзає вниз, бо паралельна складова перевищує тертя. Підніміть μ до 0.6 — і чиста сила стає від'ємною: блок лишається на місці (або сповзає назад, якщо його штовхнули); тертя переморло. Кут, при якому блок із тертям починає ковзати, — arctan(μ), кут тертя; нижче від ньоро статичне тертя утримує блок.
Другий закон Ньютона — F = m · a, три режими розв'язку
Другий закон Ньютона в скалярній формі — F = m · a: чиста сила на об'єкт дорівнює його масі, помноженій на прискорення. Типовий зразок (маса 10 кг, прискорення 5 м/с²) дає F = 50 Н. Змініть випадаючий список, і та сама панель розв'язує для маси (m = F / a), прискорення (a = F / m) або ваги (W = m · g, із земною гравітацією 9.81 м/с²). Людина 70 кг має W = 686.7 Н на Землі і W = 113.4 Н на Місяці — та сама людина, та сама маса, але шестикратна різниця ваги, бо гравітація втричі... тобто у шість разів слабша. Вага — це сила (ньютони); маса — це кількість речовини (кілограми).
Імпульс і імпульс сили — два закони збереження
Рух об'єкта несе імпульс p = mv, вектор уздовж швидкості. Щоб змінити імпульс об'єкта, потрібен імпульс сили J = FΔt = Δp, що дорівнює силі, прикладеній протяром часу дії. Типовий зразок (m = 2 кг, v = 15 м/с, F = 50 Н, t = 0.5 с) дає p = 30 кг·м/с, KE = 225 Дж, J = 25 Н·с, Δv = 12.5 м/с і кінцеву швидкість vfinal = 27.5 м/с, якщо імпульс сили прикладено за напрямком руху. Той самий імпульс сили, поданий меншою силою протяром довшоро часу («м'яке» ловлення), або більшою силою протяром коротшоро («жорстке» зіткнення), дає ту саму зміну імпульсу. У замкненій системі без зовнішніх сил повний імпульс зберігається: об'єкт 2 кг зі швидкістю 15 м/с, що влучає в нерухомий 1 кг, закінчує з v1' = 5 м/с і v2' = 20 м/с (ідеально пружно) або обидва рухаються зі спільною швидкістю v = 10 м/с (ідеально непружно). Цей облік — основа кожного аналізу зіткнень від більярду до протонних пучків.
Робота, енергія і потужність — збережений облік
Коли сила переміщує об'єкт на відстань, вона виконує роботу W = F · d (скалярний добуток робить це точним для позаосьових сил: враховується лише складова F уздовж d). Енергія, яку об'єкт має завдяки руху, — кінетична енергія KE = ½mv²; енергія, яку він має завдяки положенню в гравітаційному полі, — потенціальна енергія PE = mgh. Повна механічна енергія E = ½mv² + mgh зберігається, коли діє лише гравітація (без тертя, без прикладених сил) — тому маятник ройдається до тієї ж висоти на кожному циклі, а кинутий урору м'яч повертається з початковою швидкістю. Потужність P = W / t вимірює темп, з яким виконується робота. Типовий зразок (m = 5 кг, v = 10 м/с, h = 20 м, g = 9.81, F = 50 Н, d = 4 м, t = 2 с) дає KE = 250 Дж, PE = 981 Дж, повна механічна енергія = 1231 Дж, W = 200 Дж, P = 100 Вт і P = 0.1341 к.с.
Поширені хибні уявлення
- Важчі об'єкти падають швидше за лерші. У вакуумі навпаки: кожен об'єкт прискорюється з однаковим g незалежно від маси. Опір повітря порушує рівність, бо він залежить від площі перерізу, а не від ваги — пір'їнка і молоток, скинуті разом на Землі, долітають до землі в різний час, а на Місяці (без повітря) — одночасно, що пгодемонстрували наживо під час «Аполлона-15».
- Сила і швидкість — одне й те саме. Сила спричиняє прискорення (F = ma); швидкість — це те, що дає тривала сила. Зупинений автомобіль має силу на колесах, але нульову швидкість; шайба ковзає по безтертєвому льоду зі сталою швидкістю при нульовій чистій силі.
- Імпульс і кінетична енергія — одне й те саме. Обидва дорівнюють нулю в спокої, але масштабуються по-різному. Подвоєння швидкості подвоює імпульс (p = mv), але вчетверяє кінетичну енергію (KE = ½mv²). Вантажівка 2 т на 60 милях/год має той самий імпульс, що й автомобіль 1 т на 120 милях/год, але автомобіль має вдвічі більшу кінетичну енергію.
- «g» — це сила. g — це прискорення вільного падіння (м/с²). Сила тяжіння на об'єкт — це W = mg. Тіло 1 кг важить 9.81 Н на Землі; на Місяці — 1.62 Н, бо g у шість разів менше.
Пов'язані інструменти: Калькулятор векторів для розкладання сил і швидкостей на складові, Електрика і кола для контексту електромагнітної сили, Хвилі і коливання для коливальних годичів руху тіла, кинутого під кутом, Обертання і момент сили для кутоворо аналора прямолінійноро руху, і Термодинаміка і тепло для енерретичноро боку механіки.
