Калькулятор векторів

Векторні операції в 2D і 3D з візуалізацією стрілок на полотні в реальному часі. Обчислюйте скалярний добуток, векторний добуток, кут, модуль, одиничний вектор і додавання/розкладання векторів. Також: Механіка | Кола | Термодинаміка.
Оберіть операцію:
x y
x y
Векторні операції: скалярний добуток: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz для 3D). Векторний добуток (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Кут: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Проєкція: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Одиничний вектор: u = A/|A|. Модуль: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Що таке вектори?

Вектор — це величина з модулем і напрямком: сила, швидкість, прискорення, імпульс, електричне і магнітне поля, момент імпульсу. Натомість скаляр — просто число: маса, час, енергія, температура. Геометрично вектор зображують стрілкою, довжина якої — модуль, а кут дає напрямок; алгебраїчно — це впорядкований список компонентів, два на площині і три у просторі. Шість операцій охоплюють майже все, що робите з векторами: модуль |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), додавання покомпонентно, скалярний добуток A·B = ΣAiBi, векторний добуток A×B (лише в 3D), кут з cosθ = A·B/(|A||B|), і одиничний вектор / проєкція. Панель реалізує всі шість у 2D і 3D з миттєвим графіком на полотні — бачити дві стрілки та їхню суму чи добуток — різниця між абстрактним маніпулюванням і фізичною інтуїцією.

Три добутки роблять усе, що вам потрібно: скалярний добуток (скаляр, що вимірює узгодженість напрямків, A·B = |A||B|cosθ), векторний добуток (вектор, перпендикулярний до обох вхідних, модуль |A||B|sinθ) і оператор проєкції (складова A вздовж обраного напрямку). Вони — облік кожної формули фізики, що містить більше одного вектора.
Модуль і канонічний приклад у 2D

Прямокутний трикутник 3-4-5 — канонічний приклад для 2D-векторів. Візьмемо A = (3, 4). Його модуль |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Його напрямок від додатної осі x — arctan(4/3) ≈ 53.13°. Будь-який 2D-вектор можна записати як модуль, помножений на одиничний вектор у тому напрямку: A = 5·(0.6, 0.8). Панель розкладання приймає модуль і кути θ і φ та повертає компоненти x, y, z за будь-якою сферичною конвенцією (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) або площинною (з ігнорованим φ, x = r cosθ, y = r sinθ). Для r = 10, θ = 36.87° у 2D-режимі це дає (8, 6, 0) — трикутник 6-8-10, масштабований з початкового 3-4-5. Розпізнавання цих цілочислових трикутників — скорочення, щоб побачити, які компоненти перпендикулярні, без звернення до тригонометрії.

Скалярний добуток — скалярна міра узгодженості напрямків

Для двох векторів A і B скалярний добуток A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) — скаляр, що дорівнює |A||B|cosθ — тобто добутку модулів на косинус кута між ними. Типовий 2D-зразок (A = (3, 4), B = (5, 2)) дає A·B = 15 + 8 = 23, модулі |A| = 5 і |B| = √29 ≈ 5.385, і cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854, тож θ ≈ 31.33°. Три знакові наслідки несуть усю інтерпретацію: cosθ > 0 означає гострий кут, і вектори загалом спрямовані в один бік; cosθ < 0 — тупий кут, вектори протилежні; cosθ = 0 — перпендикулярні. Скалярний добуток — це робота сили F вздовж переміщення d (W = F·d), а косинус пояснює, чому тиск під кутом менш ефективний, ніж тиск уздовж руху.

Векторний добуток — вектор, перпендикулярний до обох вхідних

Векторний добуток — операція лише в 3D, результат якої — вектор, перпендикулярний до обох вхідних, з модулем |A||B|sinθ і напрямком за правилом правої руки (вказівний палець уздовж A, середній — уздовж B, великий дає A×B). У компонентах A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Типовий 3D-зразок (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) дає A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Векторний добуток антисиметричний: B×A = −A×B, тож зміна входів змінює знак. Три фізичні прояви: момент сили τ = r×F (обертальна сила), момент імпульсу L = r×p (орбітальний момент імпульсу) і магнітна сила F = qv×B на заряд, що рухається. Модуль |A×B| дорівнює площі паралелограма, який натягують два вектори, тому результати векторного добутку завжди описують площу або обертання. Момент сили — векторний добуток у роботі: τ = r×F має модуль |r||F|sinθ, тож натискання через вісь дає нуль, а довший ключ дає більший момент.

Кут між векторами

Маючи скалярний добуток і модулі, кут знаходиться однією арккосинусною: cosθ = A·B/(|A||B|), з θ у [0, π]. Малий скалярний добуток відносно модулів означає майже перпендикулярні вектори; скалярний добуток, рівний |A||B|, означає, що вектори спрямовані в один бік (θ = 0); скалярний добуток, рівний −|A||B|, означає протилежні (θ = π). Формула однакова в 2D і 3D — відрізняється лише розмірність сум компонентів. Геометрично скалярний добуток можна розглядати як проєкцію A на B (або B на A), помножену на модуль іншого, тож косинус буквально є відношенням проєкції.

Одиничний вектор і проєкція

Одиничний вектор — вектор з модулем 1, що вказує в той самий напрямок, що й початковий: u = A / |A|. Одиничні вектори — спосіб описати «чистий напрямок»; базисні вектори i, j, k декартових координат — канонічні приклади, і будь-який напрямок у 3D можна записати як їхню лінійну комбінацію. Проєкція A на B (або складова A вздовж B) — це projBA = (A·B / |B|²) · B — частина A, що лежить уздовж B. Скалярна версія (A·B/|B|) — це знакова довжина цієї проєкції. Саме це робить скалярний добуток формулою роботи: складова переміщення вздовж сили, помножена на модуль сили, — це виконана робота.

Поширені помилки
  • Скалярний добуток — це множення векторів. Це скалярний добуток — дає число, а не вектор. Аналогічно векторний добуток — це векторний добуток. Називання їх «множенням» приховує, що вихід у них зовсім різний.
  • Векторний добуток — скаляр. У 2D перпендикулярну складову іноді називають скаляром (визначник axby − aybx), але в 3D векторний добуток справді є вектором. Модуль і напрямок обидва фізично значущі.
  • Векторний добуток комутативний. Він антикомутативний: A×B = −B×A. Порядок має значення — момент сили r×F має протилежний сенс щодо F×r.
  • Вектор має фіксоване місце. Вектори вільні — ними можна рухати по сторінці без зміни. Фіксовані їхній модуль і напрямок; лише певні вектори у фізиці (вектори положення, електричне поле в точці) прив'язані до місця.

Пов'язані інструменти: Механіка для моменту сили, роботи і моменту імпульсу в контексті, Обертальна динаміка для того, як векторний добуток будує момент імпульсу, і Кола для магнітної сили F = qv×B.