Калькулятор обертання і моменту сили

Обертання — це кінематика і динаміка тіл, що крутяться: коліс, шестерень, планет, молекул, ураганів. Облік майже рядок у рядок паралельний лінійному варіанту: лінійне переміщення стає кутовим переміщенням θ (радіани), лінійна швидкість — кутовою швидкістю ω (рад/с), лінійне прискорення — кутовим прискоренням α (рад/с²), маса — моментом інерції I (кг·м²), а сила — моментом сили τ (Н·м). Другий закон Ньютона набуває обертальної форми τ = I·α, а момент імпульсу L = I·ω зберігається за відсутності зовнішнього моменту сил — точно так, як лінійний імпульс зберігається за відсутності зовнішньої сили. Шість калькуляторів цієї панелі покривають робочі формули: доцентрову силу для колового руху, перетворення кутової швидкості, момент сили, момент інерції для поширених форм, момент імпульсу з обертальною кінетичною енергією і відцентрову псевдосилу в обертових системах відліку.

Будь-який об'єкт, що рухається по колу, змінює напрямок, а це прискорення, яке потребує сили — спрямованої до центру. Величина: F = mv²/r = mω²r. Типовий зразок (m = 1 кг, v = 10 м/с, r = 2 м) дає F = 50 Н і доцентрове прискорення 50 м/с² (≈ 5 g), з кутовою швидкістю 5 рад/с (≈ 47.75 об/хв). Сила справжня — для кульки на нитці це натяг нитки; для автомобіля на повороті — тертя між шинами і дорогою; для супутника на орбіті — гравітація. Приберіть силу (нитка рветься, шини втрачають зчеплення) — і об'єкт вилітає по дотичній, а не радіально назовні: той поштовх назовні, який ви відчуваєте в автомобілі на повороті, — це відцентрова псевдосила в обертовій системі відліку, а не доцентрова сила в інерційній.

Той самий об'єкт, що обертається, можна описати в обертах за хвилину (об/хв), у радіанах за секунду (рад/с, одиниця СІ), в обертах за секунду (Гц) або в градусах за секунду. Типовий зразок (1200 об/хв) стає ω ≈ 125.66 рад/с, 7 200 град/с або 20 Гц, з періодом 0.05 с на оберт. Співвідношення: ω = 2πf = 2π n/60, де n — об/хв; множник 2π перетворює оберти на радіани, а 60 — хвилини на секунди. Ці перетворення одиниць мають менше значення для підручникових задач, ніж для двигунів і моторів, де об/хв — це показання приладу, а момент сили (у Н·м) — робочий вихід.

Момент сили — обертальний аналог сили: τ = r·F·sinθ, де r — довжина плеча важеля, F — прикладена сила, θ — кут між ними. Типовий зразок (F = 50 Н, r = 0.3 м, θ = 90°) дає τ = 15 Н·м. Множник sinθ означає, що сила найефективніша при 90° (перпендикулярно до важеля); натискання прямо вздовж важеля (θ = 0 або 180°) дає нульовий момент, як би сильно ви не тиснули. Тому ключ найлегше повертає болт, коли ви тиснете перпендикулярно до ручки, і чому довша ручка дає більший момент при тій самій прикладеній силі — саме тому гайкові ключі, дверні ручки і кермо більші за осі, які вони повертають.

Момент інерції — обертальний аналог маси, і він залежить від того, як маса розподілена відносно осі. Для суцільної сфери масою m і радіусом R I = (2/5)mR²; для суцільного диска або циліндра відносно центральної осі I = (1/2)mR²; для тонкого кільця або обруча I = mR²; для однорідного стрижня відносно центру I = (1/12)mL². Типовий зразок (суцільна сфера, m = 2 кг, R = 1 м) дає I = 0.8 кг·м². Практичний наслідок: обруч важче розкрутити, ніж диск тієї самої маси і радіуса (уся маса на ободі), а порожниста сфера важча для обертання, ніж суцільна. Чим далі маса від осі, тим більший I — тому фігурист, стискаючи руки, розкручується: I зменшується, ω зростає, а L = Iω лишається сталим.

Момент імпульсу — це L = Iω у кг·м²/с; обертальна кінетична енергія — KE = ½Iω². Типовий зразок (I = 5 кг·м², ω = 10 рад/с) дає L = 50 кг·м²/с і KE = 250 Дж. Закон збереження той самий, що й для лінійного імпульсу: за відсутності зовнішнього моменту сил L лишається сталим. Дзиґа крутиться, доки тертя (зовнішній момент) залишається малим; вільно орбітальна планета зберігає момент імпульсу, заміщаючи рівні площі за рівні час (другий закон Кеплера). Разом це пояснює, чому гіроскопи опираються нахилу: зміна напрямку L потребує моменту сил, а швидко обертовий гіроскоп має настільки великий L, що малі моменти його майже не відхиляють.

У обертовій системі відліку нерухомий об'єкт відчуває уявну силу назовні, рівну доцентровій силі, яка потрібна, щоб утримати його на колі. Величина: F = mω²r, ідентична формулі доцентрової сили. Типовий зразок (m = 0.1 кг, ω = 100 рад/с, r = 0.15 м) дає F = 150 Н назовні, дотичну швидкість 15 м/с і перевантаження близько 152.91 g. Псевдосила не існує в інерційній (нерухомій) системі відліку, де внутрішня сила від мотузки або стіни є доцентровою і ніякого поштовху назовні немає взагалі. Відцентрова сила утримує воду у відрі під час вертикального обертання, віджимає одяг у пральній машині, розділяє компоненти крові в центрифузі і утримує пасажирів біля зовнішньої стінки проєкту обертової космічної станції. За визначенням обидві сили однакові за величиною і протилежні за напрямком.

• Відцентрова сила — це справжня сила, що штовхає вас назовні. Це уявна сила, що з'являється лише в обертовій (неінерційній) системі відліку. В інерційній системі єдина сила — внутрішня доцентрова; те, що ви відчуваєте як «назовні», — це ваша інерція, що опирається внутрішньому притягуванню.
• Момент імпульсу змушує дзиґу крутитися вічно. Момент імпульсу зберігається лише за відсутності зовнішнього моменту сил. Дзиґа сповільнюється, бо тертя на вістрі є зовнішнім моментом; безтертьовий підшипник (глибокий вакуум, надпровідник) може тримати колесо, що крутиться, кілька днів, але не вічно.
• Важчі об'єкти мають більші моменти інерції. Важчі об'єкти тієї самої форми мають; але порожнистий обруч і суцільний диск однієї маси можуть мати дуже різні моменти, бо важливий розподіл, а не лише загальна маса.
• Об'єкт у круговому русі не має чистої сили. Чиста сила нульова, якщо він рухається зі сталою швидкістю по прямій. Коловий шлях — це стале прискорення до центру, що потребує сталої внутрішньої сили. Приберіть силу — і об'єкт вилітає з кола.

Пов'язані інструменти: Механіка для лінійної динаміки під цим, Механіка рідин для вихорів і обертової течії, і Сучасна фізика для квантового моменту імпульсу, що з'являється в атомах.