Класична механіка і електромагнетизм працюють чудово, поки швидкості не наближаються до швидкості світла або розміри не наближаються до атомних масштабів; сучасна фізика — режим за їх межами. Вона розгалужується на три напрямки: спеціальна теорія відносності (великі швидкості, де c — межа швидкості, а маса, довжина і час залежать від спостерігача), квантова механіка (малі масштаби, де енергія квантована, частинки мають хвильові властивості, а сам спостерігач впливає на результат), і ядерна та фізика частинок (зв'язок і розпад атомних ядер, де сама маса є резервуаром енергії). Шість калькуляторів цієї панелі покривають рівняння, що випливають з цих трьох напрямків — скорочення і сповільнення Лоренца, довжину хвилі де Бройля, фотоефект, E = mc², радіоактивний розпад і модель водню Бора, — плюс універсальні сталі c, h і еВ, що проходять через усі.
Дві універсальні сталі роблять майже все тут: c = 299 792 458 м/с для теорії відносності (швидкість світла однакова в кожному напрямку для кожного спостерігача), і h = 6.626×10−34 Дж·с для квантової теорії (кожна взаємодія обмінюється енергією порціями розміром hf). Додайте перетворення 1 еВ = 1.602×10−19 Дж для атомних масштабів, і більшість чисел панелі поміщаються в голові.
Спеціальна теорія відносності — c є межею
Постулат Ейнштейна 1905 року: швидкість світла c однакова в кожній інерціальній системі відліку, і фізичні закони однакові в кожній інерціальній системі. Наслідок для часу і довжини — фактор Лоренца γ = 1/√(1 − v²/c²), який роздуває час (Δt = γ·T0) і стискає довжину (L = L0/γ) у рухомій системі. Типовий зразок (v = 0.8 c, T0 = 1 с, L0 = 10 м) дає γ ≈ 1.667: годинник на швидкому кораблі відбиває 1 с власноро часу, а для нерухомого спостерігача минає 1.667 с; корабель 10 м здається завдовжки 6 м. При v = 0.5 c γ лише 1.155 — ледве помітно; при v = 0.99 c γ дорівнює 7.09, і релятивістські ефекти драматичні. Мережа GPS мусить коригувати сповільнення часу супутникових годинників на орбітальних швидкостях (~45 мкс/добу повільніше) і гравітаційний блюшифт (~45 мкс/добу швидше); два ефекти майже скасовуються, але не точно — без корекції за добу місцеве визначення було б неточним приблизно на 10 км.
Довжина хвилі де Бройля — матерія має хвилі
Світло — це хвиля і водночас частинка; за симетрією кожна частинка з імпульсом p також є хвилею з довжиною λ = h/p = h/(mv). Типовий зразок (електрон при v = 106 м/с) дає λ ≈ 0.727 нм — на межі рентгенівського і м'якого рентгенівського діапазону. Це межа роздільної здатності електронного мікроскопа — тому електронна мікроскопія перевершує світлову на порядки. Для бейсбольноро м'яча зі швидкістю 40 м/с (160 км/год) λ ≈ 10−34 м — на багато порядків менше за протон, тому бейсбольні м'ячі не дифрагують крізь паркан. Дуалізм хвиля-частинка універсальний; лише стала h не дає повсякденній матерії виглядати як квантовий об'єкт.
Фотоефект — доведене квантування
Світло, що падає на метал, вибиває електрони, але лише якщо енергія фотона перевищує роботу виходу металу φ: KE = hf − φ, де f — частота світла, h — стала Планка. Типовий зразок (мідноподібна поверхня з φ = 4.3 еВ, λ = 200 нм ультрафіолет) дає енергію фотона hf = 1240/200 = 6.2 еВ і кінетичну енергію електрона 1.9 еВ, зі швидкістю електрона близько 8.16×105 м/с. Нижче порогової частоти (φ/h у Гц, або 1240/φ у нм·еВ — 288 нм для міді) електрони не вилітають незалежно від інтенсивності. Цей ефект був експериментом, що в 1905 році вирішив дебати про хвилі й частинки, бо класична фізика передбачає залежність енергії електрона від інтенсивності, а не від частоти.
E = mc² — маса є енергією
Еквівалентність маси й енергії E = mc² пов'язує масу з енергією з величезним коефіцієнтом пропорційності (c² = 8.988×1016 Дж/кг). Один кілограм маси містить 8.988×1016 Дж — енергію, що вивільняється 21.5-мегатонним термоядерним пристроєм; або, еквівалентно, щоденне споживання енергії всієї світової економіки (~5×1020 Дж) потребувало б лише близько 5 500 кг анігільованої маси. На практиці перетворення ніколи не буває повним: ядерний поділ вивільняє близько 0.1% маси-енергії, ядерний синтез — близько 0.7%, а анігіляція матерії з антиматерією — повні 100%. Дефект маси (різниця між сумою мас нуклонів і справжньою масою ядра) — це енергія зв'язку, що вивільняється при утворенні ядер; тому таблиці енергії зв'язку стоять поруч із таблицями мас у кожному довіднику ядерних даних.
Період напіврозпаду — імовірнісний годинник
Кожне нестабільне ядро має сталу ймовірність розпаду за одиницю часу, незалежно від свого віку чи хімічного оточення. Результат — експоненційний розпад: N(t) = N0·(1/2)t/T½. Типовий зразок (N0 = 1000 атомів, T½ = 10 с, t = 25 с) дає N ≈ 176.78 що лишилися (близько 17.7%) і 823.22 розпалися (82.3%) після 2.5 періодів напіврозпаду. Середній час життя — τ = T½/ln(2) ≈ 1.443·T½ (середній атом живе довше за період напіврозпаду, бо деякі живуть значно довше за медіану). Стала розпаду λ = ln(2)/T½ — це ймовірність за одиницю часу; активність A = λ·N — розпади за секунду, одиниця — бекерель (1 Бк = 1 розпад/с). Датування вуглецем-14 використовує саме це співвідношення з T½ = 5 730 років, щоб датувати органічний матеріал до близько 50 000 років; для давніших зразків переходить калій-аррон (T½ = 1.25 мільярда років).
Водень Бора — квантовані орбіти
Найпростіший квантовий атом: електрон може перебувати лише на певних орбітах з енергією En = −13.6/n² еВ (n = 1, 2, 3, ...). Переходи між орбітами випромінюють або поглинають фотони з енергією, що дорівнює різниці. Типовий зразок (ni = 3 → nf = 2, лінія Hα) дає ΔE ≈ 1.889 еВ і довжину хвилі ≈ 656.5 нм — глибокочервона лінія Hα, та сама довжина хвилі, що фарбує емісійні туманності в рожевий колір на фотографіях. Переходи на n = 1 утворюють серію Лаймана (ультрафіолет), на n = 2 — серію Бальмера (видимі), на n = 3 — серію Пашена (ближній інфрачервоний) тощо. Модель Бора в деталях хибна (справжній атом водню описує рівняння Шредінгера, з імовірнісними хмарами замість орбіт), але достатньо правильна, щоб точно передбачати спектр водню і слугувати мостом від класичного до квантового мислення.
Поширені хибні уявлення
- Сповільнення часу — «просто перспектива». Сповільнений час фізичний, а не уявний. Мюон, створений космічними променями високо в атмосфері, живе достатньо довго (у нашій системі відліку), щоб досягти землі, бо його великий γ пгодовжує час життя в цей коефіцієнт. Сам мюон бачить атмосферу стиснутою, з тією самою фізикою — обидва погляди погоджуються, що досягає землі.
- E = mc² перетворює масу на енергію. Маса не «стає» енергією; вона є енергією. Рівняння каже, що маса й енергія — одна і та сама величина, виміряна в різних одиницях. Ядро, легше за свої складові на Δm, вивільнило Δm·c² енергії зв'язку; ця енергія завжди була, просто не у вигляді маси.
- Світло — це «або хвиля, або частинка». Ні те, ні інше окремо. Світло поводиться як хвиля в інтерференції і як частинка (фотон) при емісії/поглинанні. Два описи взаємодоповнюючі, а не суперечливі.
- Релятивістська маса зростає зі швидкістю. Сучасне вживання відмовилося від цього поняття: «масою» є лише маса спокою m0. Повна енергія зростає з γ (E = γm0c²), але називати це «релятивістською масою» затемнює геометрію 4-імпульсу і вже не є стандартним.
Пов'язані інструменти: Кола для класичного електричного підґрунтя, Термодинаміка для статистичної механіки і теореми рівнорозподілу, і Довідник констант для значень кожної константи, що тут використовується.
