Кожне вимірювання — це число з чесним супутником: наскільки ми можемо бути впевнені? Цей супутник має дві частини — випадкову похибку, яку усереднює повторення вимірювання, і систематичну похибку, зсув, що зберігається незалежно від кількості вимірювань. Чесний звіт про будь-яку величину тому має вигляд x ± u(x), де u — добре визначена невизначеність; знак ± є скороченням для «приблизно цей діапазон з такою ймовірністю». Чотири калькулятори цієї панелі покривають робочі інструменти: підрахунок значущих цифр (скорочення обліку), поширення невизначеностей через суми, різниці, добутки, частки і степені (числення помилок), стандартне відхилення (наскільки розкидані дані) і комбіновану невизначеність у стилі GUM для кількох незалежних компонентів.
Два види похибок, дві протилежні поведінки: випадкова похибка зменшується з коренем з N (σ/√N), тому усереднення завжди перемагає; систематична похибка взагалі не зменшується, тому калібрування важливіше за повторення. Вимірювання може мати малу σ і все одно бути хибним через зсув.
Значущі цифри — скорочення для обліку
Значуща цифра — це цифра, відома з упевненістю; нулі, що доповнюють число до конвенційного розміру, такими не є. П'ять правил: (1) усі ненульові цифри значущі, (2) нулі між ненульовими значущі, (3) ведучі нулі не значущі (вони лише ставлять десяткову кому), (4) кінцеві нулі після десяткової коми значущі, (5) кінцеві нулі без коми неоднозначні (використовуйте наукову нотацію). Тому значення 0.0070800 має 5 значущих цифр (7, 0, 8, 0, 0) і читається як (7.0800 ± 0.00005)×10−3. Звіт 0.0070800 означає ту саму точність, що й звіт 7.0800×10−3; звіт 0.00708 означає точність у тисячу разів меншу. Скорочення працює для підручникових звітів; для реального вимірювання чесним числом є невизначеність u, а значущі цифри — зручний спосіб її виразити без запису ± щоразу.
Поширення похибок — числення помилок
Для z = f(x, y) правило комбінування незалежних невизначеностей: σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Для чотирьох робочих операцій це зводиться до: додавання/віднімання — абсолютні похибки додаються квадратично σz = √(σx² + σy²); множення/ділення — відносні похибки додаються квадратично σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); степінь xn масштабує відносну похибку на |n|: σz/z = |n|σx/x. Типовий зразок (x = 10 ± 0.3, y = 5 ± 0.2, додавання) дає z = 15 і σz ≈ 0.36, або 15.00 ± 0.36 (близько 2.4% відносно). Перемикання на множення з тими самими вхідними даними дає z = 50 ± 2.5 (5% відносно) — ті самі значення ±, але зовсім інше правило поширення, а відносна невизначеність добутку дорівнює квадратичній сумі відносних невизначеностей. Абсолютні невизначеності — правильна валюта для сум і різниць; відносні — для добутків і часток.
Стандартне відхилення — розкид даних
Стандартне відхилення σ — це середньоквадратичне відхилення від середнього. Існують дві версії залежно від того, що представляють дані: генеральна σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) описує розкид кожного члена відомої множини; вибіркова s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) оцінює розкид більшої сукупності, з якої взято вибірку. Типовий зразок (10 значень від 12.2 до 12.8 із середнім 12.5) дає генеральну σ ≈ 0.1732, вибіркову s ≈ 0.1826 і SEM = s/√N ≈ 0.0577. Невизначеність самого середнього — σ/√N (або s/√N для вибіркової версії), тому усереднення 25 вимірювань однієї величини зменшує невизначеність у 5 разів порівняно з одним. Стандартне відхилення також використовується для довірчих інтервалів: для нормального розподілу ±1σ містить 68.3%, ±2σ — 95.5%, ±3σ — 99.7%.
Розширена невизначеність — комбінування всіх джерел
Коли вимірювання має кілька незалежних джерел похибки (роздільна здатність приладу, калібрування, повторюваність, температурний дрейф, вплив оператора), комбінована невизначеність у стилі GUM дорівнює uc = √(Σui²). Джерела класифікуються як тип A (статистичні, з даних) і тип B (усе інше, з невизначеностями, оціненими за судженням або специфікацією виробника); обидва входять до uc однаково. Коефіцієнт покриття k потім масштабує інтервал до обраної впевненості: k = 1 для 68.3%, k = 2 для 95.5%, k = 2.58 для 99.0%, k = 3 для 99.7%. Типовий зразок (джерела 0.15, 0.08, 0.05, 0.03 мм, k = 2) дає uc ≈ 0.1797 мм і U = k·uc ≈ 0.3595 мм при 95.5%. Звітне значення стає (вимірювання ± 0.36) мм з цією впевненістю. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) — міжнародний стандарт для процедури. Компоненти типу A походять зі статистики повторних відліків, типу B — із специфікацій приладів і судження; обидва комбінуються тією самою квадратичною сумою.
Поширені хибні уявлення
- Більше значущих цифр означає точніше вимірювання. Лише якщо ці цифри справді походять з вимірювання. Довжина «12.34567 м», записана від руки, не має точності 1 частина з 10 мільйонів — значущі цифри є способом передати точність, а не способом її створити. Вказати ± чесніше, ніж доповнювати вигаданими цифрами.
- Систематичну похибку можна зменшити усередненням. Навпаки: випадкові похибки усереднюються як 1/√N, але систематичний зсув (неправильно відкалібрована шкала, зсунутий нуль) лишається незмінним, скільки б вимірювань ви не зробили. Знайдіть і усуньте зсув. Це пастка «дані такі відтворювані!» у зламаному експерименті.
- Стандартне відхилення говорить про похибку одного вимірювання. Воно характеризує розкид розподілу, а не похибку жодного окремого досліду. Стандартна похибка середнього (s/√N) — релевантна величина, коли звітуєте, наскільки добре ви знаєте x̄ за вибіркою з N.
- Невизначеність завжди ± в останній цифрі. Стандартна конвенція: «округліть невизначеність до однієї (іноді двох) значущих цифр, потім округліть значення відповідно». Вимірювання 12.345678 ± 0.234 слід звітувати як 12.35 ± 0.23, а не 12.345678 ± 0.234.
Пов'язані інструменти: Статистика для лежачих в основі ймовірнісних розподілів, Механіка для експериментальних установок, що дають числа, і Калькулятор для алгебри поширення.
