П'ять анімацій на полотні в реальному часі показують, як рівняння фізики виглядають в русі: траєкторія м'яча під дією гравітації, коливання одного маятника і хаотичний танець подвійного маятника, інтерференційна картина двох кругових хвиль, лінії поля навколо точкових зарядів і композиція трьох сил многокутником. Математика тотожна формулам на інших сторінках сайту; полотно показує, як виглядає розв'язок у часі та просторі. Кожна панель приймає кілька вхідних даних і видає або числовий вивід (снаряд, композиція сил, електричне поле), або візуальний (маятник, інтерференція хвиль). Разом вони утворюють невелику лабораторію у вашому браузері, де можна змінити параметр і миттєво побачити результат.
Симуляції — це рівняння, зроблені видимими: та сама алгебра, ті самі константи, ті самі граничні умови — показані як анімація, яка дає змінювати параметри і спостерігати, як змінюється результат. Використовуйте їх, щоб розвинути інтуїцію: змініть кут запуску і спостерігайте, як дальність сягає піку при 45°; змініть знак заряду і спостерігайте, як лінії поля змінюють напрямок; змініть довжину хвилі і спостерігайте, як інтерференційна картина стискається або розширюється.
Рух тіла, кинутого під кутом — класична парабола
М'яч, запущений з початковою швидкістю v0 під кутом θ з висоти h0, слідує параметричним рівнянням x(t) = v0 cosθ · t і y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Полотно простежує траєкторію, поки м'яч летить, і повідомляє підсумкову дальність, час польоту і максимальну висоту. Типовий зразок (v0 = 25 м/с, θ = 45°, h0 = 0, g Землі = 9.81 м/с²) дає час польоту ≈ 3.604 с, дальність ≈ 63.70 м і максимальну висоту ≈ 15.929 м. Перемкніть на пресет Місяця (g = 1.62) — і той самий запуск досягає ≈ 385.8 м за ≈ 21.82 с: та сама парабола, у шість разів довша і далі — саме це робить місячний спорт таким абсурдним і що використав астронавт Алан Шепард зі своїм імпровізованим залізяком. Полотно перемальовує шлях, червона точка відстежує положення м'яча, а дальність і максимальна висота позначаються безпосередньо на діаграмі.
Маятник — простий гармонічний і хаотичний
Простий маятник довжиною L, відпущений з кута θ, підпорядковується θ″(t) = −(g/L) sinθ, що тут інтегрується напівнеявним методом Ейлера. Для малих амплітуд (sinθ ≈ θ) рух є простим гармонічним з періодом T = 2π√(L/g); типовий L = 1.5 м на Землі дає T ≈ 2.458 с. Для більших амплітуд період трохи зростає, бо sinθ вже не є хорошим лінійним наближенням — коливання на 60° приблизно на 7% повільніше за коливання на 5° тієї ж довжини. Подвійний маятник — інша історія: дві жорсткі ланки з масами у шарнірах, що керуються зв'язаними нелінійними рівняннями, інтегруються так само, але демонструють хаос. Крихітні різниці початкового кута за кілька циклів ведуть до дико різних траєкторій — ознака детермінованого хаосу, тому подвійні маятники є підручниковим прикладом хаотичної механічної системи. Перемкніть з «Простий» на «Подвійний» у списку — з'явиться друга ланка з початковим кутом θ2; натисніть «Старт» і спостерігайте, як картина коливань непередбачувано розходиться. Симуляція одного маятника також гасить кожен кадр (коефіцієнт 0.9995), як справжній маятник втрачає енергію на опір повітря і тертя в опорі.
Інтерференція хвиль — суперпозиція двох джерел
Два точкові джерела випромінюють кругові хвилі однакової довжини λ; у кожній точці площини результуюче збурення є сумою двох. Там, де два гребені приходять у фазі, амплітуда подвоюється (конструктивна інтерференція); там, де гребінь від одного зустрічає впадину від іншого, вони гасять одне одного (деструктивна інтерференція). Умова конструктивної інтерференції — r1 − r2 = mλ для цілого m; для деструктивної — r1 − r2 = (m + ½)λ. Полотно малює карту інтенсивності (світле = висока амплітуда, темне = гасіння) і накладає вузлові лінії, де r1 − r2 = mλ (з опцією пунктирних ліній). Типова відстань (120 пікс. = 3λ) показує чіткі чергувані світлі й темні смуги вздовж перпендикулярної бісектриси — ту саму картину, що дає світлі й темні смуги в досліді Томаса Юнга з двома щілинами і кольорові смуги світла, відбитого від нафтової плівки.
Лінії електричного поля — густина передає силу
Електричне поле навколо точкового заряду Q — радіальний вектор величини E = kQ/r²; для двох зарядів поле в будь-якій точці є векторною сумою Etotal = E1 + E2. Полотно простежує 16 ліній поля від області джерел методом Ейлера з кроком 4 пікселі в напрямку локального поля. Лінії виходять з додатних зарядів (Q > 0) і закінчуються на від'ємних (Q < 0); у типовому зразку (Q1 = +5, Q2 = −3, з |Q1·Q2| = 15) картина показує лінії, що виходять із червоного заряду + ліворуч, вигинаються назовні, і більшість з них закінчуються на синьому заряді − праворуч, а декілька йдуть у нескінченність (бо величини нерівні). Густина ліній поля пропорційна силі поля: щільно упаковані лінії означають сильне поле, рідкі — слабке. Зміна знаків обох зарядів змінює напрямок ліній без зміни геометрії.
Композиція сил — метод многокутника
Коли на об'єкт діє кілька сил, рівнодіюча — це їх векторна, а не скалярна сума. Метод многокутника (або «голова до хвоста») ставить кожен силовий вектор кінець до початку, починаючи з початку координат; рівнодіюча R — це вектор від початку до кінцевої точки. Покомпонентно: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²) і θR = arctan(Ry/Rx). Полотно малює кожну силу як кольорову стрілку (F1 червона, F2 синя, F3 зелена) від початку, потім пунктирну фіолетову лінію від початку до кінцевої точки, що показує рівнодіючу, плюс світло-сірі лінії многокутника, що відстежують шлях кінець до початку. Типовий зразок (F1 = 30 Н під 0°, F2 = 25 Н під 60°, F3 = 15 Н під 150°) дає Rx ≈ 29.51 Н, Ry ≈ 29.15 Н, |R| ≈ 41.48 Н і θR ≈ 44.65° — величина більша за будь-яку окрему силу, бо напрямки частково підсилюють одне одного.
Поширені хибні уявлення
- Полотно показує справжню фізику, а не ескіз. Кожен кадр обчислюється з лежачого в основі рівняння (інтегрування Ейлера для маятників, суперпозиція для хвиль, векторна сума для сил). Змініть вхідні дані — і ви змінюєте математику; анімація — це пряма чисельна візуалізація.
- Період маятника залежить від амплітуди. Для малих амплітуд (менше ~15°) період майже не залежить від амплітуди і дорівнює T = 2π√(L/g). Для більших амплітуд період помітно зростає — коливання на 90° триває приблизно на 18% довше, ніж передбачає формула малого кута. «Секундний маятник» годинника з дідусевим корпусом розрахований на малий розмах саме для того, щоб його період був стабільним.
- Лінії електричного поля реальні. Вони є візуалізацією поля, а не фізичними нитками. Справжнє електричне поле — це вектор у кожній точці простору; лінії лише з'єднують точки, де поле дотичне, у неперервний спосіб. Ви не можете «схопити» лінію поля.
- Методи многокутника і паралелограма дають різні відповіді. Вони дають однакову рівнодіючу. Метод паралелограма працює для двох сил; метод многокутника природно поширюється на будь-яку кількість. Обидва — еквівалентні застосування векторного додавання.
Пов'язані інструменти: Механіка для чисельних кінематичних формул, Калькулятор векторів для розкладання на компоненти і скалярного/векторного добутку, Хвилі і коливання для повних рівнянь біжучої хвилі, Електрика і кола для аналогів струму і напруги, і Оптика і світло для оптичної версії інтерференції хвиль (подвійна щілина Юнга).
